If α is a root of the equation x2+x+1=0 and k=1∑n(αk+α−k)2=20, then n is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समीकरण के मूल ज्ञात करें
दिए गए समीकरण x2+x+1=0 के मूल ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि यह इकाई के घनमूलों से संबंधित है। इस समीकरण के मूल ω और ω2 हैं, जहाँ ω=ei2π/3 इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है।
Step 2: α के गुणों का उपयोग करें
चूंकि α समीकरण x2+x+1=0 का एक मूल है, इसलिए α इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। हम α=ω मान सकते हैं। इसके गुणधर्म हैं α3=1 और 1+α+α2=0 ।
Step 3: व्यंजक को सरल करें
अब हम दिए गए योग के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं। (αk+α−k)2 को (αk+αk1)2 के रूप में लिखा जा सकता है, जो a2+b2+2ab सूत्र का उपयोग करके α2k+α2k1+2 बन जाता है।
Step 4: αk+α−k के मान ज्ञात करें
हम जानते हैं कि α=ei2π/3=cos(2π/3)+isin(2π/3) । इसलिए, αk=cos(2πk/3)+isin(2πk/3) और α−k=cos(−2πk/3)+isin(−2πk/3)=cos(2πk/3)−isin(2πk/3) । इन दोनों को जोड़ने पर हमें 2cos(2πk/3) मिलता है।
Step 5: योग का मूल्यांकन करें
अब हम योग में इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं। (αk+α−k)2=(2cos(2πk/3))2=4cos2(2πk/3) । हम जानते हैं कि cos(2π/3)=−1/2, cos(4π/3)=−1/2, और cos(6π/3)=cos(2π)=1 । इसलिए, cos2(2π/3)=1/4, cos2(4π/3)=1/4, और cos2(6π/3)=1 । यह पैटर्न हर 3 पदों के बाद दोहराता है: 4(1/4)+4(1/4)+4(1)=1+1+4=6 ।
Step 6: n का मान ज्ञात करें
चूंकि योग का मान 20 है और प्रत्येक 3 पदों का योग 6 है, तो हम n को 3m के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m पूर्ण चक्रों की संख्या है। तो 6m=20, जिससे m=10/3 मिलता है। चूंकि m एक पूर्णांक नहीं है, इसका मतलब है कि n 3 का गुणज नहीं है।
Step 7: अंतिम n का मान ज्ञात करें
हम जानते हैं कि प्रत्येक 3 पदों का योग 6 है। यदि n=9, तो योग 3×6=18 होगा। यदि n=10, तो योग 18+4cos2(20π/3)=18+4(−1/2)2=18+1=19 होगा। यदि n=11, तो योग 19+4cos2(22π/3)=19+4(−1/2)2=19+1=20 होगा। अतः, n=11 ।