चूंकि α समीकरण x² + x + 1 = 0 का एक मूल है, इसलिए α इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। हम α = मान सकते हैं। इसके गुणधर्म हैं α³ = 1 और 1 + α + α² = 0।

चूंकि α समीकरण x² + x + 1 = 0 का एक मूल है, इसलिए α इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। हम α = मान सकते हैं। इसके गुणधर्म हैं α³ = 1 और 1 + α + α² = 0।

अब हम दिए गए योग के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं। (α^k + α^(-k))² को (α^k + (1)/(α^k))² के रूप में लिखा जा सकता है, जो a² + b² + 2ab सूत्र का उपयोग करके α²k + (1)/(α²k) + 2 बन जाता है।

अब हम दिए गए योग के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं। (α^k + α^(-k))² को (α^k + (1)/(α^k))² के रूप में लिखा जा सकता है, जो a² + b² + 2ab सूत्र का उपयोग करके α²k + (1)/(α²k) + 2 बन जाता है।

हम जानते हैं कि α = e^(i2π/3) = cos(2π/3) + isin(2π/3)। इसलिए, α^k = cos(2π k/3) + isin(2π k/3) और α^(-k) = cos(-2π k/3) + isin(-2π k/3) = cos(2π k/3) - isin(2π k/3)। इन दोनों को जोड़ने पर हमें 2cos(2π k/3) मिलता है।

हम जानते हैं कि α = e^(i2π/3) = cos(2π/3) + isin(2π/3)। इसलिए, α^k = cos(2π k/3) + isin(2π k/3) और α^(-k) = cos(-2π k/3) + isin(-2π k/3) = cos(2π k/3) - isin(2π k/3)। इन दोनों को जोड़ने पर हमें 2cos(2π k/3) मिलता है।

अब हम योग में इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं। (α^k + α^(-k))² = (2cos(2π k/3))² = 4cos²(2π k/3)। हम जानते हैं कि cos(2π/3) = -1/2, cos(4π/3) = -1/2, और cos(6π/3) = cos(2π) = 1। इसलिए, cos²(2π/3) = 1/4, cos²(4π/3) = 1/4, और cos²(6π/3) = 1। यह पैटर्न हर 3 पदों के बाद दोहराता है: 4(1/4) + 4(1/4) + 4(1) = 1 + 1 + 4 = 6।

अब हम योग में इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं। (α^k + α^(-k))² = (2cos(2π k/3))² = 4cos²(2π k/3)। हम जानते हैं कि cos(2π/3) = -1/2, cos(4π/3) = -1/2, और cos(6π/3) = cos(2π) = 1। इसलिए, cos²(2π/3) = 1/4, cos²(4π/3) = 1/4, और cos²(6π/3) = 1। यह पैटर्न हर 3 पदों के बाद दोहराता है: 4(1/4) + 4(1/4) + 4(1) = 1 + 1 + 4 = 6।

हम जानते हैं कि प्रत्येक 3 पदों का योग 6 है। यदि n=9, तो योग 3 × 6 = 18 होगा। यदि n=10, तो योग 18 + 4cos²(20π/3) = 18 + 4(-1/2)² = 18 + 1 = 19 होगा। यदि n=11, तो योग 19 + 4cos²(22π/3) = 19 + 4(-1/2)² = 19 + 1 = 20 होगा। अतः, n=11।

हम जानते हैं कि प्रत्येक 3 पदों का योग 6 है। यदि n=9, तो योग 3 × 6 = 18 होगा। यदि n=10, तो योग 18 + 4cos²(20π/3) = 18 + 4(-1/2)² = 18 + 1 = 19 होगा। यदि n=11, तो योग 19 + 4cos²(22π/3) = 19 + 4(-1/2)² = 19 + 1 = 20 होगा। अतः, n=11।

If $\alpha$ is a root of the equation $x^2 + x + 1 = 0$ and $\displaystyle\sum_{k=1}^n\bigl(\alpha^k + \alpha^{-k}\bigr)^2 = 20$ , then $n$ is equal to:

Answer: $11$

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण के मूल ज्ञात करें

दिए गए समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि यह इकाई के घनमूलों से संबंधित है। इस समीकरण के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं, जहाँ $\omega = e^{i2\pi/3}$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है।

Step 2: $\alpha$ के गुणों का उपयोग करें

चूंकि $\alpha$ समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ का एक मूल है, इसलिए $\alpha$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। हम $\alpha = \omega$ मान सकते हैं। इसके गुणधर्म हैं $\alpha^3 = 1$ और $1 + \alpha + \alpha^2 = 0$ ।

Step 3: व्यंजक को सरल करें

अब हम दिए गए योग के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं। $(\alpha^k + \alpha^{-k})^2$ को $(\alpha^k + \frac{1}{\alpha^k})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $a^2 + b^2 + 2ab$ सूत्र का उपयोग करके $\alpha^{2k} + \frac{1}{\alpha^{2k}} + 2$ बन जाता है।

Step 4: $\alpha^k + \alpha^{-k}$ के मान ज्ञात करें

हम जानते हैं कि $\alpha = e^{i2\pi/3} = \cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3)$ । इसलिए, $\alpha^k = \cos(2\pi k/3) + i\sin(2\pi k/3)$ और $\alpha^{-k} = \cos(-2\pi k/3) + i\sin(-2\pi k/3) = \cos(2\pi k/3) - i\sin(2\pi k/3)$ । इन दोनों को जोड़ने पर हमें $2\cos(2\pi k/3)$ मिलता है।

Step 5: योग का मूल्यांकन करें

अब हम योग में इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं। $(\alpha^k + \alpha^{-k})^2 = (2\cos(2\pi k/3))^2 = 4\cos^2(2\pi k/3)$ । हम जानते हैं कि $\cos(2\pi/3) = -1/2$ , $\cos(4\pi/3) = -1/2$ , और $\cos(6\pi/3) = \cos(2\pi) = 1$ । इसलिए, $\cos^2(2\pi/3) = 1/4$ , $\cos^2(4\pi/3) = 1/4$ , और $\cos^2(6\pi/3) = 1$ । यह पैटर्न हर 3 पदों के बाद दोहराता है: $4(1/4) + 4(1/4) + 4(1) = 1 + 1 + 4 = 6$ ।

Step 6: n का मान ज्ञात करें

चूंकि योग का मान 20 है और प्रत्येक 3 पदों का योग 6 है, तो हम $n$ को $3m$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $m$ पूर्ण चक्रों की संख्या है। तो $6m = 20$ , जिससे $m = 10/3$ मिलता है। चूंकि $m$ एक पूर्णांक नहीं है, इसका मतलब है कि $n$ 3 का गुणज नहीं है।

Step 7: अंतिम n का मान ज्ञात करें

हम जानते हैं कि प्रत्येक 3 पदों का योग 6 है। यदि $n=9$ , तो योग $3 \times 6 = 18$ होगा। यदि $n=10$ , तो योग $18 + 4\cos^2(20\pi/3) = 18 + 4(-1/2)^2 = 18 + 1 = 19$ होगा। यदि $n=11$ , तो योग $19 + 4\cos^2(22\pi/3) = 19 + 4(-1/2)^2 = 19 + 1 = 20$ होगा। अतः, $n=11$ ।

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If α\alphaα is a root of the equation x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0x2+x+1=0 and ∑k=1n(αk+α−k)2=20\displaystyle\sum_{k=1}^n\bigl(\alpha^k + \alpha^{-k}\bigr)^2 = 20k=1∑n​(αk+α−k)2=20, then nnn is equal to: