दीर्घवृत्त का मानक समीकरण (x²)/(a²)+(y²)/(b²)=1 होता है। दिए गए दीर्घवृत्त के समीकरण (x²)/(9)+(y²)/(4)=1 से, हम a²=9 और b²=4 प्राप्त करते हैं। जीवा के मध्यबिंदु (x_1, y_1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण T=0 या T=S_1 के रूप में दिया जाता है, जहाँ T = (xx_1)/(a²) + (yy_1)/(b²) - 1 और S_1 = (x_1²)/(a²) + (y_1²)/(b²) - 1 होता है।

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण (x²)/(a²)+(y²)/(b²)=1 होता है। दिए गए दीर्घवृत्त के समीकरण (x²)/(9)+(y²)/(4)=1 से, हम a²=9 और b²=4 प्राप्त करते हैं। जीवा के मध्यबिंदु (x_1, y_1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण T=0 या T=S_1 के रूप में दिया जाता है, जहाँ T = (xx_1)/(a²) + (yy_1)/(b²) - 1 और S_1 = (x_1²)/(a²) + (y_1²)/(b²) - 1 होता है।

जीवा का समीकरण, जिसका मध्यबिंदु (x_1, y_1) है, T=S_1 द्वारा दिया जाता है। यहाँ x_1 = (5)/(2) और y_1 = (1)/(2) है। a²=9 और b²=4 के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें जीवा का समीकरण प्राप्त होगा।

जीवा का समीकरण, जिसका मध्यबिंदु (x_1, y_1) है, T=S_1 द्वारा दिया जाता है। यहाँ x_1 = (5)/(2) और y_1 = (1)/(2) है। a²=9 और b²=4 के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें जीवा का समीकरण प्राप्त होगा।

अब हम x_1 = (5)/(2), y_1 = (1)/(2), a²=9 और b²=4 के मानों को जीवा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

अब हम x_1 = (5)/(2), y_1 = (1)/(2), a²=9 और b²=4 के मानों को जीवा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

144 से गुणा करने पर हमें 40x + 18y = 109 प्राप्त होता है। दिए गए जीवा का समीकरण α x+β y=109 है। इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें α = 40 और β = 18 मिलता है।

144 से गुणा करने पर हमें 40x + 18y = 109 प्राप्त होता है। दिए गए जीवा का समीकरण α x+β y=109 है। इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें α = 40 और β = 18 मिलता है।

अंत में, हम α और β के मानों को जोड़कर α+β का मान ज्ञात करते हैं।

If $\alpha x+\beta y=109$ is the equation of the chord of the ellipse $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ , whose midpoint is $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , then $\alpha+\beta$ is equal to:

Answer: 58

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त का समीकरण और मध्यबिंदु सूत्र

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ होता है। दिए गए दीर्घवृत्त के समीकरण $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ से, हम $a^2=9$ और $b^2=4$ प्राप्त करते हैं। जीवा के मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $T=0$ या $T=S_1$ के रूप में दिया जाता है, जहाँ $T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$ और $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$ होता है।

Step 2: जीवा के मध्यबिंदु पर समीकरण ज्ञात करना

जीवा का समीकरण, जिसका मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है, $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $x_1 = \frac{5}{2}$ और $y_1 = \frac{1}{2}$ है। $a^2=9$ और $b^2=4$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें जीवा का समीकरण प्राप्त होगा।

Step 3: मानों को प्रतिस्थापित करना

अब हम $x_1 = \frac{5}{2}$ , $y_1 = \frac{1}{2}$ , $a^2=9$ और $b^2=4$ के मानों को जीवा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: समीकरण को सरल बनाना

प्रतिस्थापन के बाद, हम समीकरण को सरल करते हैं। दाहिने हाथ की ओर के भिन्नों को जोड़ने के लिए हम उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं। 36 और 16 का LCM 144 है।

Step 5: आगे सरल करना

भिन्नों को जोड़ने के बाद, हम समीकरण को और सरल करते हैं। अब हम पूरे समीकरण को 144 से गुणा करते हैं ताकि हर को हटाया जा सके।

Step 6: अंतिम समीकरण और तुलना

144 से गुणा करने पर हमें $40x + 18y = 109$ प्राप्त होता है। दिए गए जीवा का समीकरण $\alpha x+\beta y=109$ है। इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $\alpha = 40$ और $\beta = 18$ मिलता है।

Step 7: $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात करना

अंत में, हम $\alpha$ और $\beta$ के मानों को जोड़कर $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात करते हैं।

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If αx+βy=109\alpha x+\beta y=109αx+βy=109 is the equation of the chord of the ellipse x29+y24=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=19x2​+4y2​=1, whose midpoint is (52,12)\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)(25​,21​), then α+β\alpha+\betaα+β is equal to: