हमें cot x का मान दिया गया है और यह भी बताया गया है कि x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। दूसरे चतुर्थांश में, sin x धनात्मक होता है और cos x ऋणात्मक होता है। हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² x = 1 + cot² x का उपयोग करके csc x का मान ज्ञात कर सकते हैं, और फिर sin x = (1)/(csc x) का उपयोग करके sin x का मान ज्ञात कर सकते हैं। अंत में, cos x = cot x · sin x का उपयोग करके cos x का मान ज्ञात करेंगे।

हमें cot x का मान दिया गया है और यह भी बताया गया है कि x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। दूसरे चतुर्थांश में, sin x धनात्मक होता है और cos x ऋणात्मक होता है। हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² x = 1 + cot² x का उपयोग करके csc x का मान ज्ञात कर सकते हैं, और फिर sin x = (1)/(csc x) का उपयोग करके sin x का मान ज्ञात कर सकते हैं। अंत में, cos x = cot x · sin x का उपयोग करके cos x का मान ज्ञात करेंगे।

अब हम cos x का मान ज्ञात करने के लिए cot x और sin x के मानों का उपयोग करते हैं। cos x = cot x · sin x में मान रखने पर, हमें cos x = -(5)/(13) प्राप्त होता है। यह दूसरे चतुर्थांश में cos x के ऋणात्मक होने की शर्त को पूरा करता है।

अब हम cos x का मान ज्ञात करने के लिए cot x और sin x के मानों का उपयोग करते हैं। cos x = cot x · sin x में मान रखने पर, हमें cos x = -(5)/(13) प्राप्त होता है। यह दूसरे चतुर्थांश में cos x के ऋणात्मक होने की शर्त को पूरा करता है।

अब हम शेष दो त्रिकोणमितीय फलनों, tan x और sec x का मान ज्ञात करेंगे। tan x = (1)/(cot x) का उपयोग करके tan x = -(12)/(5) प्राप्त होता है। sec x = (1)/(cos x) का उपयोग करके sec x = -(13)/(5) प्राप्त होता है। ये मान दूसरे चतुर्थांश में tan x और sec x के ऋणात्मक होने की शर्त को पूरा करते हैं।

अब हम शेष दो त्रिकोणमितीय फलनों, tan x और sec x का मान ज्ञात करेंगे। tan x = (1)/(cot x) का उपयोग करके tan x = -(12)/(5) प्राप्त होता है। sec x = (1)/(cos x) का उपयोग करके sec x = -(13)/(5) प्राप्त होता है। ये मान दूसरे चतुर्थांश में tan x और sec x के ऋणात्मक होने की शर्त को पूरा करते हैं।

If $\cot x=-\frac{5}{12}, x$ lies in second quadrant, find the values of other five trigonometric functions.

Answer: अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के मान हैं: $\sin x = \frac{12}{13}$ , $\cos x = -\frac{5}{13}$ , $\tan x = -\frac{12}{5}$ , $\csc x = \frac{13}{12}$ , $\sec x = -\frac{13}{5}$ ।

Step-by-step solution

Step 1: कोटैंजेंट से साइन और कोसाइन ज्ञात करना

हमें $\cot x$ का मान दिया गया है और यह भी बताया गया है कि $x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। दूसरे चतुर्थांश में, $\sin x$ धनात्मक होता है और $\cos x$ ऋणात्मक होता है। हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ का उपयोग करके $\csc x$ का मान ज्ञात कर सकते हैं, और फिर $\sin x = \frac{1}{\csc x}$ का उपयोग करके $\sin x$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। अंत में, $\cos x = \cot x \cdot \sin x$ का उपयोग करके $\cos x$ का मान ज्ञात करेंगे।

Step 2: कोसेकेंट और साइन का मान ज्ञात करना

सर्वसमिका में $\cot x$ का मान रखने पर, हमें $\csc^2 x = \frac{169}{144}$ मिलता है। इसका वर्गमूल लेने पर $\csc x = \pm\frac{13}{12}$ प्राप्त होता है। चूंकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है, $\sin x$ धनात्मक होता है, इसलिए $\csc x$ भी धनात्मक होगा। अतः, $\csc x = \frac{13}{12}$ । अब, $\sin x = \frac{1}{\csc x}$ का उपयोग करके $\sin x = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।

Step 3: कोसाइन का मान ज्ञात करना

अब हम $\cos x$ का मान ज्ञात करने के लिए $\cot x$ और $\sin x$ के मानों का उपयोग करते हैं। $\cos x = \cot x \cdot \sin x$ में मान रखने पर, हमें $\cos x = -\frac{5}{13}$ प्राप्त होता है। यह दूसरे चतुर्थांश में $\cos x$ के ऋणात्मक होने की शर्त को पूरा करता है।

Step 4: टैंजेंट और सेकंड का मान ज्ञात करना

अब हम शेष दो त्रिकोणमितीय फलनों, $\tan x$ और $\sec x$ का मान ज्ञात करेंगे। $\tan x = \frac{1}{\cot x}$ का उपयोग करके $\tan x = -\frac{12}{5}$ प्राप्त होता है। $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ का उपयोग करके $\sec x = -\frac{13}{5}$ प्राप्त होता है। ये मान दूसरे चतुर्थांश में $\tan x$ और $\sec x$ के ऋणात्मक होने की शर्त को पूरा करते हैं।

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