हमें दी गई सीमा का मान p के रूप में ज्ञात करना है। यह 1^∞ के रूप का एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम इसे हल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करेंगे।

हमें दी गई सीमा का मान p के रूप में ज्ञात करना है। यह 1^∞ के रूप का एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम इसे हल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करेंगे।

If $\displaystyle\lim_{x\to0}\bigl(\tfrac{\tan x}{x}\bigr)^{1/x^2}=p$ , then $96\log_e p$ is equal to:

Answer: 32

Step-by-step solution

Step 1: सीमा को सरल करें

हमें दी गई सीमा का मान $p$ के रूप में ज्ञात करना है। यह $1^\infty$ के रूप का एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम इसे हल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करेंगे।

Step 2: लघुगणक का उपयोग करें

हम सीमा के दोनों ओर प्राकृतिक लघुगणक लेते हैं। यह हमें $0/0$ के रूप में एक अनिश्चित रूप देता है, जिस पर हम L'Hôpital के नियम का उपयोग कर सकते हैं।

Step 3: मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करें

सीमा को हल करने के लिए, हम $\tan x$ और $\log(1+y)$ के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार का उपयोग करते हैं। यह हमें सीमा को सरल बनाने में मदद करेगा।

Step 4: श्रृंखला विस्तार को प्रतिस्थापित करें

अब हम $\tan x$ के विस्तार को प्रतिस्थापित करते हैं और फिर $\log(1+y)$ के विस्तार का उपयोग करते हैं, जहाँ $y = \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} + O(x^6)$ है।

Step 5: सीमा का मूल्यांकन करें

हम $x^2$ से भाग देते हैं और $x \to 0$ के रूप में सीमा का मूल्यांकन करते हैं। $x$ वाले सभी पद शून्य हो जाते हैं, जिससे हमें $\log p = \frac{1}{3}$ मिलता है।

Step 6: अंतिम मान ज्ञात करें

चूंकि $\log p = \frac{1}{3}$ है, तो हम $96 \log_e p$ का मान ज्ञात करने के लिए इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं।

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If lim⁡x→0(tan⁡xx)1/x2=p\displaystyle\lim_{x\to0}\bigl(\tfrac{\tan x}{x}\bigr)^{1/x^2}=px→0lim​(xtanx​)1/x2=p, then 96log⁡ep96\log_e p96loge​p is equal to: