If x→0lim(xtanx)1/x2=p, then 96logep is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: सीमा को सरल करें
हमें दी गई सीमा का मान p के रूप में ज्ञात करना है। यह 1∞ के रूप का एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम इसे हल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करेंगे।
Step 2: लघुगणक का उपयोग करें
हम सीमा के दोनों ओर प्राकृतिक लघुगणक लेते हैं। यह हमें 0/0 के रूप में एक अनिश्चित रूप देता है, जिस पर हम L'Hôpital के नियम का उपयोग कर सकते हैं।
Step 3: मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करें
सीमा को हल करने के लिए, हम tanx और log(1+y) के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार का उपयोग करते हैं। यह हमें सीमा को सरल बनाने में मदद करेगा।
Step 4: श्रृंखला विस्तार को प्रतिस्थापित करें
अब हम tanx के विस्तार को प्रतिस्थापित करते हैं और फिर log(1+y) के विस्तार का उपयोग करते हैं, जहाँ y=3x2+152x4+O(x6) है।
Step 5: सीमा का मूल्यांकन करें
हम x2 से भाग देते हैं और x→0 के रूप में सीमा का मूल्यांकन करते हैं। x वाले सभी पद शून्य हो जाते हैं, जिससे हमें logp=31 मिलता है।
Step 6: अंतिम मान ज्ञात करें
चूंकि logp=31 है, तो हम 96logep का मान ज्ञात करने के लिए इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं।