If 2π≤x≤43π, then cos−1(1312cosx+135sinx) is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिकोणमितीय व्यंजक को सरल करना
दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम 1312 और 135 को त्रिकोणमितीय अनुपातों के रूप में व्यक्त करेंगे। हम एक समकोण त्रिभुज की कल्पना करते हैं जिसकी भुजाएँ 5, 12 और 13 हैं। इस त्रिभुज में, हम एक कोण α मान सकते हैं जहाँ cosα=1312 और sinα=135 ।
Step 2: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करना
अब, हम व्यंजक को cosxcosα+sinxsinα के रूप में लिख सकते हैं। यह cos(A−B) के सूत्र के समान है, जो cosAcosB+sinAsinB होता है। इसलिए, व्यंजक cos(x−α) के बराबर है।
Step 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन लागू करना
दिए गए मूल व्यंजक में, हमें cos−1 फलन लागू करना है। इसलिए, यह cos−1(cos(x−α)) बन जाता है।
Step 4: मुख्य मान सीमा का निर्धारण
हमें cos−1(cosθ)=θ का उपयोग करने के लिए x−α के मान की सीमा निर्धारित करनी होगी। चूंकि sinα=135 और cosα=1312, α एक न्यून कोण है और 0<α<2π । विशेष रूप से, tanα=125 जो tan6π=31≈0.577 से कम है, इसलिए α<6π ।
Step 5: मुख्य मान सीमा के भीतर कोण
चूंकि 2π≤x≤43π और 0<α<6π (लगभग 0.4 रेडियन), हम पाते हैं कि 2π−6π<x−α<43π−0, जो 3π<x−α<43π है। यह अंतराल [0,π] के भीतर है, जो cos−1 फलन की मुख्य मान शाखा है। इसलिए, cos−1(cos(x−α))=x−α ।