If π2≤x≤3π4\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{4}, then cos⁡−1(1213cos⁡x+513sin⁡x)\cos^{-1} \left( \frac{12}{13} \cos x + \frac{5}{13} \sin x \right) is equal to

Answer: x−cos⁡−1(1213)x - \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)

Step-by-step solution

Step 1: त्रिकोणमितीय व्यंजक को सरल करना

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम 1213\frac{12}{13} और 513\frac{5}{13} को त्रिकोणमितीय अनुपातों के रूप में व्यक्त करेंगे। हम एक समकोण त्रिभुज की कल्पना करते हैं जिसकी भुजाएँ 5, 12 और 13 हैं। इस त्रिभुज में, हम एक कोण α\alpha मान सकते हैं जहाँ cos⁡α=1213\cos \alpha = \frac{12}{13} और sin⁡α=513\sin \alpha = \frac{5}{13} ।

Step 2: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करना

अब, हम व्यंजक को cos⁡xcos⁡α+sin⁡xsin⁡α\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha के रूप में लिख सकते हैं। यह cos⁡(A−B)\cos(A-B) के सूत्र के समान है, जो cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B होता है। इसलिए, व्यंजक cos⁡(x−α)\cos(x - \alpha) के बराबर है।

Step 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन लागू करना

दिए गए मूल व्यंजक में, हमें cos⁡−1\cos^{-1} फलन लागू करना है। इसलिए, यह cos⁡−1(cos⁡(x−α))\cos^{-1} (\cos(x - \alpha)) बन जाता है।

Step 4: मुख्य मान सीमा का निर्धारण

हमें cos⁡−1(cos⁡θ)=θ\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta का उपयोग करने के लिए x−αx - \alpha के मान की सीमा निर्धारित करनी होगी। चूंकि sin⁡α=513\sin \alpha = \frac{5}{13} और cos⁡α=1213\cos \alpha = \frac{12}{13}, α\alpha एक न्यून कोण है और 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2} । विशेष रूप से, tan⁡α=512\tan \alpha = \frac{5}{12} जो tan⁡π6=13≈0.577\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 से कम है, इसलिए α<π6\alpha < \frac{\pi}{6} ।

Step 5: मुख्य मान सीमा के भीतर कोण

चूंकि π2≤x≤3π4\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{4} और 0<α<π60 < \alpha < \frac{\pi}{6} (लगभग 0.40.4 रेडियन), हम पाते हैं कि π2−π6<x−α<3π4−0\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} < x - \alpha < \frac{3\pi}{4} - 0, जो π3<x−α<3π4\frac{\pi}{3} < x - \alpha < \frac{3\pi}{4} है। यह अंतराल [0,π][0, \pi] के भीतर है, जो cos⁡−1\cos^{-1} फलन की मुख्य मान शाखा है। इसलिए, cos⁡−1(cos⁡(x−α))=x−α\cos^{-1}(\cos(x - \alpha)) = x - \alpha ।

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