If ∫ex(1−x2xsin−1x+(1−x2)3/2xln−1x+1−x2x)dx=g(x)+C, where C is the constant of integration, then g(21) equals:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अभिव्यक्ति को सरल करें
दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम इसे ex(f(x)+f′(x)) के रूप में लिखने का प्रयास करेंगे, जिसका समाकलन exf(x) होता है। पहले, हम दिए गए फलन को सरल करेंगे।
Step 2: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें
हम समाकलन के अंदर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि हम f(x) और f'(x) के पैटर्न को पहचान सकें।
Step 3: पदों को समूहित करें
हम पदों को इस तरह से समूहित करते हैं कि हम f(x) और f'(x) के रूप को स्पष्ट रूप से देख सकें।
Step 4: समाकलन सूत्र लागू करें
हम जानते हैं कि ∫ex(f(x)+f′(x))dx=exf(x)+C होता है। यहाँ, हम f(x)=1−x2xsin−1x और f′(x)=(1−x2)3/2x+(1−x2)3/2xln−1x के रूप में पदों को पहचान सकते हैं।
Step 5: समाकलन करें
दिए गए समाकलन सूत्र का उपयोग करके, हम g(x) को ex(1−x2xsin−1x) के रूप में प्राप्त करते हैं।
Step 6: g(21) का मान ज्ञात करें
अब, हम x=21 को g(x) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि sin−1(21)=6π और 1−(21)2=1−41=43=23 ।
Step 7: सरल करें
मानों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर, हमें g(21) का अंतिम मान प्राप्त होता है।