हम जानते हैं कि ∫ e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C होता है। यहाँ, हम f(x) = (x sin^(-1) x)/(√(1-x²)) और f'(x) = (x)/((1-x²)³/2) + (x ln^(-1) x)/((1-x²)³/2) के रूप में पदों को पहचान सकते हैं।

हम जानते हैं कि ∫ e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C होता है। यहाँ, हम f(x) = (x sin^(-1) x)/(√(1-x²)) और f'(x) = (x)/((1-x²)³/2) + (x ln^(-1) x)/((1-x²)³/2) के रूप में पदों को पहचान सकते हैं।

दिए गए समाकलन सूत्र का उपयोग करके, हम g(x) को e^x ( (x sin^(-1) x)/(√(1-x²))) के रूप में प्राप्त करते हैं।

दिए गए समाकलन सूत्र का उपयोग करके, हम g(x) को e^x ( (x sin^(-1) x)/(√(1-x²))) के रूप में प्राप्त करते हैं।

अब, हम x = (1)/(2) को g(x) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि sin^(-1)((1)/(2)) = (π)/(6) और √(1-((1)/(2))²) = √(1-(1)/(4)) = √((3)/(4)) = (√3)/(2)।

अब, हम x = (1)/(2) को g(x) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि sin^(-1)((1)/(2)) = (π)/(6) और √(1-((1)/(2))²) = √(1-(1)/(4)) = √((3)/(4)) = (√3)/(2)।

मानों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर, हमें g((1)/(2)) का अंतिम मान प्राप्त होता है।

मानों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर, हमें g((1)/(2)) का अंतिम मान प्राप्त होता है।

If $\int e^x \left( \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x \ln^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}} + \frac{x}{1-x^2} \right) dx = g(x) + C$ , where $C$ is the constant of integration, then $g\left(\frac{1}{2}\right)$ equals:

Answer: $e^{1/2} \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$

Step-by-step solution

Step 1: अभिव्यक्ति को सरल करें

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम इसे $e^x (f(x) + f'(x))$ के रूप में लिखने का प्रयास करेंगे, जिसका समाकलन $e^x f(x)$ होता है। पहले, हम दिए गए फलन को सरल करेंगे।

Step 2: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें

हम समाकलन के अंदर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि हम $f(x)$ और $f'(x)$ के पैटर्न को पहचान सकें।

Step 3: पदों को समूहित करें

हम पदों को इस तरह से समूहित करते हैं कि हम $f(x)$ और $f'(x)$ के रूप को स्पष्ट रूप से देख सकें।

Step 4: समाकलन सूत्र लागू करें

हम जानते हैं कि $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ होता है। यहाँ, हम $f(x) = \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$ और $f'(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} + \frac{x \ln^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}}$ के रूप में पदों को पहचान सकते हैं।

Step 5: समाकलन करें

दिए गए समाकलन सूत्र का उपयोग करके, हम $g(x)$ को $e^x \left( \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \right)$ के रूप में प्राप्त करते हैं।

Step 6: $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें

अब, हम $x = \frac{1}{2}$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करते हैं। हम जानते हैं कि $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ और $\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ।

Step 7: सरल करें

मानों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर, हमें $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का अंतिम मान प्राप्त होता है।

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