हम अंश 2x² + 5x + 9 को x² + x + 1 के अवकलज (2x+1) और x² + x + 1 के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं। यह हमें समाकलन को सरल बनाने में मदद करेगा।

हम अंश 2x² + 5x + 9 को x² + x + 1 के अवकलज (2x+1) और x² + x + 1 के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं। यह हमें समाकलन को सरल बनाने में मदद करेगा।

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करके, हम A, B,, और के मान ज्ञात कर सकते हैं। x² के गुणांकों की तुलना करने पर 2A+ = 2 मिलता है। x के गुणांकों की तुलना करने पर A+2B+ = 5 मिलता है। स्थिरांक पदों की तुलना करने पर B+ + = 9 मिलता है।

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करके, हम A, B,, और के मान ज्ञात कर सकते हैं। x² के गुणांकों की तुलना करने पर 2A+ = 2 मिलता है। x के गुणांकों की तुलना करने पर A+2B+ = 5 मिलता है। स्थिरांक पदों की तुलना करने पर B+ + = 9 मिलता है।

उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर, हमें A=1, =0, B=2, और =7 प्राप्त होता है।

अब हम अंश को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन को हल करते हैं। हम जानते हैं कि ∫ (f'(x))/(√(f(x))) dx = 2√(f(x)) और ∫ (1)/(√(x²+ax+b)) dx = log_e |x + (a)/(2) + √(x²+ax+b)|. इन सूत्रों का उपयोग करके, हम दिए गए समाकलन को हल कर सकते हैं।

अब हम अंश को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन को हल करते हैं। हम जानते हैं कि ∫ (f'(x))/(√(f(x))) dx = 2√(f(x)) और ∫ (1)/(√(x²+ax+b)) dx = log_e |x + (a)/(2) + √(x²+ax+b)|. इन सूत्रों का उपयोग करके, हम दिए गए समाकलन को हल कर सकते हैं।

दिए गए समाकलन के परिणाम की तुलना प्रश्न में दिए गए रूप से करने पर, हमें α = 2 और β = 7 प्राप्त होता है।

दिए गए समाकलन के परिणाम की तुलना प्रश्न में दिए गए रूप से करने पर, हमें α = 2 और β = 7 प्राप्त होता है।

अब हम α और β के मानों का उपयोग करके α + 2β का मान ज्ञात करते हैं।

If $\int \frac{2x^2 + 5x + 9}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx = x \sqrt{x^2 + x + 1} + \alpha \sqrt{x^2 + x + 1} + \beta \log_e \left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 + x + 1} \right| + C$ , where $C$ is the constant of integration, then $\alpha + 2 \beta$ is equal to:

Answer: 16

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समाकलन को मानक रूप में व्यक्त करना

हम दिए गए समाकलन को हल करने के लिए एक मानक विधि का उपयोग करेंगे। सबसे पहले, हम अंश को हर के अवकलज और एक स्थिरांक के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं। यह हमें समाकलन को दो भागों में तोड़ने की अनुमति देता है, जिनमें से एक को सीधे हल किया जा सकता है और दूसरे को मानक सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

Step 2: अंश को पुनर्व्यवस्थित करना

हम अंश $2x^2 + 5x + 9$ को $x^2 + x + 1$ के अवकलज $(2x+1)$ और $x^2 + x + 1$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं। यह हमें समाकलन को सरल बनाने में मदद करेगा।

Step 3: गुणांकों की तुलना करना

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करके, हम $A, B, \lambda,$ और $\mu$ के मान ज्ञात कर सकते हैं। $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर $2A+\lambda = 2$ मिलता है। $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर $A+2B+\lambda = 5$ मिलता है। स्थिरांक पदों की तुलना करने पर $B+\lambda+\mu = 9$ मिलता है।

Step 4: गुणांकों का मान ज्ञात करना

उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर, हमें $A=1, \lambda=0, B=2,$ और $\mu=7$ प्राप्त होता है।

Step 5: समाकलन को हल करना

अब हम अंश को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन को हल करते हैं। हम जानते हैं कि $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 2\sqrt{f(x)}$ और $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+ax+b}} dx = \log_e |x + \frac{a}{2} + \sqrt{x^2+ax+b}|$ . इन सूत्रों का उपयोग करके, हम दिए गए समाकलन को हल कर सकते हैं।

Step 6: $\alpha$ और $\beta$ की तुलना करना

दिए गए समाकलन के परिणाम की तुलना प्रश्न में दिए गए रूप से करने पर, हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 7$ प्राप्त होता है।

Step 7: अंतिम मान ज्ञात करना

अब हम $\alpha$ और $\beta$ के मानों का उपयोग करके $\alpha + 2\beta$ का मान ज्ञात करते हैं।

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