पहले हम z² और |z|² की गणना करते हैं। z² का मान (x+iy)² के विस्तार से प्राप्त होता है, और |z|² का मान x²+y² होता है।

पहले हम z² और |z|² की गणना करते हैं। z² का मान (x+iy)² के विस्तार से प्राप्त होता है, और |z|² का मान x²+y² होता है।

If $\left|z^{2}-1\right|=|z|^{2}+1$ , then show that $z$ lies on imaginary axis.

Answer: चूंकि $x=0$ है, इसलिए $z$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समीकरण को लिखें

हमें दिया गया समीकरण है $\left|z^{2}-1\right|=|z|^{2}+1$ । हमें यह दिखाना है कि यदि यह समीकरण सत्य है, तो सम्मिश्र संख्या $z$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

Step 2: सम्मिश्र संख्या $z$ को $x+iy$ के रूप में व्यक्त करें

हम सम्मिश्र संख्या $z$ को $x+iy$ के रूप में मानेंगे, जहाँ $x$ वास्तविक भाग है और $y$ काल्पनिक भाग है। हमारा लक्ष्य यह दिखाना है कि $x=0$ है।

Step 3: $z^2$ और $|z|^2$ की गणना करें

पहले हम $z^2$ और $|z|^2$ की गणना करते हैं। $z^2$ का मान $(x+iy)^2$ के विस्तार से प्राप्त होता है, और $|z|^2$ का मान $x^2+y^2$ होता है।

Step 4: समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें

अब हम $z^2$ और $|z|^2$ के मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें समीकरण का बायाँ और दायाँ पक्ष $x$ और $y$ के पदों में मिलता है।

Step 5: मापांक की परिभाषा का उपयोग करें और समीकरण को सरल करें

हम बाएँ पक्ष के मापांक की गणना करते हैं और दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। फिर हम समीकरण को सरल करते हैं। सभी समान पदों को रद्द करने के बाद, हमें $4x^2 = 0$ मिलता है, जिसका अर्थ है $x=0$ ।

Step 6: निष्कर्ष

चूंकि $x=0$ है, इसका मतलब है कि सम्मिश्र संख्या $z = 0+iy = iy$ है। ऐसी संख्याएँ काल्पनिक अक्ष पर स्थित होती हैं।

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If ∣z2−1∣=∣z∣2+1\left|z^{2}-1\right|=|z|^{2}+1​z2−1​=∣z∣2+1, then show that zzz lies on imaginary axis.