If limx→∞((1−ee)(e1−1+ex))x=α, then the value of 1+logeαlogeα equals:
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Step-by-Step Solution
Step 1: सीमा को सरल बनाना
हमें दी गई सीमा का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले, हम कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करेंगे। यह एक 1∞ प्रकार की अनिश्चित सीमा है, जिसे हल करने के लिए हम elimx→∞(f(x)−1)g(x) सूत्र का उपयोग करेंगे, जहाँ f(x) आधार है और g(x) घात है।
Step 2: आधार को सरल करना
हम कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को गुणा करके सरल करते हैं। यह हमें x के पदों में एक नया व्यंजक देता है।
Step 3: सीमा का मूल्यांकन
अब हम elimx→∞(f(x)−1)g(x) सूत्र का उपयोग करते हैं। यहाँ f(x)=1−e1−1−e2ex और g(x)=x है। हम f(x)-1 को सरल करते हैं और फिर x से गुणा करते हैं।
Step 4: घात को सरल करना
हम x को कोष्ठक के अंदर गुणा करते हैं। यह एक बहुपद व्यंजक है।
Step 5: घात की सीमा का मूल्यांकन
हम पदों को एक सामान्य हर पर लाते हैं और फिर सीमा का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि x2 का गुणांक ऋणात्मक है और x→∞ है, इसलिए सीमा −∞ होगी।
Step 6: अल्फा का मान ज्ञात करना
चूंकि सीमा −∞ है, इसलिए α=e−∞=0 होगा।
Step 7: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन
चूंकि loge0 अपरिभाषित है (यह −∞ की ओर अग्रसर होता है), इसलिए दिया गया व्यंजक अपरिभाषित है।