If A\mathbf{A}, B\mathbf{B}, and (adj⁡(A−1)+adj⁡(B−1))\left(\operatorname{adj}\left(\mathbf{A}^{-1}\right) + \operatorname{adj}\left(\mathbf{B}^{-1}\right)\right) are non-singular matrices of same order, then the inverse of A(adj⁡(A−1)+adj⁡(B−1))−1B\mathbf{A} \left(\operatorname{adj}\left(\mathbf{A}^{-1}\right) + \operatorname{adj}\left(\mathbf{B}^{-1}\right)\right)^{-1} \mathbf{B}, is equal to

Answer: B−1(A∣A∣+B∣B∣)A−1\mathbf{B}^{-1} \left(\frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} + \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}\right) \mathbf{A}^{-1}

Step-by-step solution

Step 1: व्युत्क्रम और सहखंडज के गुणधर्मों का उपयोग करें

हम जानते हैं कि किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह X\mathbf{X} के लिए, adj⁡(X−1)=(adj⁡(X))−1\operatorname{adj}(\mathbf{X}^{-1}) = (\operatorname{adj}(\mathbf{X}))^{-1} होता है। साथ ही, adj⁡(X)=∣X∣X−1\operatorname{adj}(\mathbf{X}) = |\mathbf{X}| \mathbf{X}^{-1} होता है, जिससे adj⁡(X−1)=∣X−1∣(X−1)−1=1∣X∣X\operatorname{adj}(\mathbf{X}^{-1}) = |\mathbf{X}^{-1}| (\mathbf{X}^{-1})^{-1} = \frac{1}{|\mathbf{X}|} \mathbf{X} प्राप्त होता है।

Step 2: दिए गए व्यंजक को सरल करें

उपरोक्त गुणधर्म का उपयोग करके, हम adj⁡(A−1)\operatorname{adj}(\mathbf{A}^{-1}) और adj⁡(B−1)\operatorname{adj}(\mathbf{B}^{-1}) को सरल कर सकते हैं।

Step 3: दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें

अब, हम adj⁡(A−1)\operatorname{adj}(\mathbf{A}^{-1}) और adj⁡(B−1)\operatorname{adj}(\mathbf{B}^{-1}) के सरलीकृत रूपों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: व्युत्क्रम के गुणधर्मों का उपयोग करें

हम जानते हैं कि आव्यूह गुणन के व्युत्क्रम का गुणधर्म (XYZ)−1=Z−1Y−1X−1(\mathbf{XYZ})^{-1} = \mathbf{Z}^{-1} \mathbf{Y}^{-1} \mathbf{X}^{-1} होता है।

Step 5: व्यंजक का व्युत्क्रम ज्ञात करें

उपरोक्त गुणधर्म का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक का व्युत्क्रम ज्ञात करते हैं। ध्यान दें कि (X−1)−1=X(\mathbf{X}^{-1})^{-1} = \mathbf{X} होता है।

Step 6: सरल करें

व्युत्क्रम के व्युत्क्रम को सरल करने पर, हमें अंतिम व्यंजक प्राप्त होता है।

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