If P={a,b,c}\mathrm{P}=\{a, b, c\} and Q={r}\mathrm{Q}=\{r\}, form the sets P×Q\mathrm{P} \times \mathrm{Q} and Q×P\mathrm{Q} \times \mathrm{P}. Are these two products equal?

Answer: समुच्चय P×Q={(a,r),(b,r),(c,r)}\mathrm{P} \times \mathrm{Q} = \{(a, r), (b, r), (c, r)\} और Q×P={(r,a),(r,b),(r,c)}\mathrm{Q} \times \mathrm{P} = \{(r, a), (r, b), (r, c)\} । ये दोनों गुणनफल बराबर नहीं हैं।

Step-by-step solution

Step 1: कार्तीय गुणनफल P × Q ज्ञात करना

समुच्चय P\mathrm{P} और Q\mathrm{Q} का कार्तीय गुणनफल P×Q\mathrm{P} \times \mathrm{Q} सभी क्रमित युग्मों (x,y)(x, y) का समुच्चय होता है, जहाँ xx समुच्चय P\mathrm{P} का एक अवयव है और yy समुच्चय Q\mathrm{Q} का एक अवयव है। दिए गए समुच्चय P={a,b,c}\mathrm{P}=\{a, b, c\} और Q={r}\mathrm{Q}=\{r\} हैं।

Step 2: P × Q के अवयवों की गणना

समुच्चय P\mathrm{P} के प्रत्येक अवयव को समुच्चय Q\mathrm{Q} के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करने पर, हमें P×Q\mathrm{P} \times \mathrm{Q} के अवयव प्राप्त होते हैं।

Step 3: कार्तीय गुणनफल Q × P ज्ञात करना

इसी प्रकार, समुच्चय Q\mathrm{Q} और P\mathrm{P} का कार्तीय गुणनफल Q×P\mathrm{Q} \times \mathrm{P} सभी क्रमित युग्मों (y,x)(y, x) का समुच्चय होता है, जहाँ yy समुच्चय Q\mathrm{Q} का एक अवयव है और xx समुच्चय P\mathrm{P} का एक अवयव है।

Step 4: Q × P के अवयवों की गणना

समुच्चय Q\mathrm{Q} के प्रत्येक अवयव को समुच्चय P\mathrm{P} के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करने पर, हमें Q×P\mathrm{Q} \times \mathrm{P} के अवयव प्राप्त होते हैं।

Step 5: P × Q और Q × P की तुलना

हम देखते हैं कि P×Q={(a,r),(b,r),(c,r)}\mathrm{P} \times \mathrm{Q} = \{(a, r), (b, r), (c, r)\} और Q×P={(r,a),(r,b),(r,c)}\mathrm{Q} \times \mathrm{P} = \{(r, a), (r, b), (r, c)\} । चूंकि क्रमित युग्मों का क्रम महत्वपूर्ण होता है, (a,r)≠(r,a)(a, r) \neq (r, a) । इसलिए, ये दोनों समुच्चय बराबर नहीं हैं।

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