If S and S′ are the foci of the ellipse 18x2+9y2=1 and P is a point on the ellipse, then min(SP⋅S′P)+max(SP⋅S′P) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: दीर्घवृत्त के समीकरण की पहचान करें और प्राचलों को ज्ञात करें
दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण 18x2+9y2=1 है। इसे दीर्घवृत्त के मानक समीकरण a2x2+b2y2=1 से तुलना करके, हम a2=18 और b2=9 प्राप्त करते हैं। इससे a=18=32 और b=9=3 मिलता है।
Step 2: उत्केंद्रता (e) और नाभियों (foci) के निर्देशांक ज्ञात करें
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e सूत्र b2=a2(1−e2) का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 9=18(1−e2) मिलता है, जिससे e2=1−189=1−21=21 । इसलिए, e=21 । नाभियों के निर्देशांक (±ae,0) होते हैं। ae=32⋅21=3 । अतः, नाभियाँ S=(3,0) और S′=(−3,0) हैं।
Step 3: दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु P के लिए SP और S'P के मान ज्ञात करें
दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु P(xP,yP) के लिए, नाभियों से दूरी SP=a−exP और S′P=a+exP होती है।
Step 4: SP⋅S′P के गुणनफल की गणना करें
अब हम SP⋅S′P का गुणनफल ज्ञात करते हैं: (a−exP)(a+exP)=a2−e2xP2 । हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त पर xP का मान −a≤xP≤a के बीच होता है।
Step 5: न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करें
SP⋅S′P=a2−e2xP2 के न्यूनतम मान के लिए, xP2 का मान अधिकतम होना चाहिए, जो a2 है (जब xP=±a)। अतः, min(SP⋅S′P)=a2−e2a2=a2(1−e2)=b2=9 । अधिकतम मान के लिए, xP2 का मान न्यूनतम होना चाहिए, जो 0 है (जब xP=0)। अतः, max(SP⋅S′P)=a2−e2(0)2=a2=18 ।
Step 6: न्यूनतम और अधिकतम मानों का योग ज्ञात करें
अब हम न्यूनतम और अधिकतम मानों का योग ज्ञात करते हैं: min(SP⋅S′P)+max(SP⋅S′P)=b2+a2=9+18=27 ।