दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण (x²)/(18) + (y²)/(9) = 1 है। इसे दीर्घवृत्त के मानक समीकरण (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से तुलना करके, हम a² = 18 और b² = 9 प्राप्त करते हैं। इससे a = √18 = 3√2 और b = √9 = 3 मिलता है।

दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण (x²)/(18) + (y²)/(9) = 1 है। इसे दीर्घवृत्त के मानक समीकरण (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से तुलना करके, हम a² = 18 और b² = 9 प्राप्त करते हैं। इससे a = √18 = 3√2 और b = √9 = 3 मिलता है।

दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e सूत्र b² = a²(1 - e²) का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 9 = 18(1 - e²) मिलता है, जिससे e² = 1 - (9)/(18) = 1 - (1)/(2) = (1)/(2)। इसलिए, e = (1)/(√2)। नाभियों के निर्देशांक (± ae, 0) होते हैं। ae = 3√2 · (1)/(√2) = 3। अतः, नाभियाँ S=(3,0) और S'=(-3,0) हैं।

दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e सूत्र b² = a²(1 - e²) का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 9 = 18(1 - e²) मिलता है, जिससे e² = 1 - (9)/(18) = 1 - (1)/(2) = (1)/(2)। इसलिए, e = (1)/(√2)। नाभियों के निर्देशांक (± ae, 0) होते हैं। ae = 3√2 · (1)/(√2) = 3। अतः, नाभियाँ S=(3,0) और S'=(-3,0) हैं।

अब हम SP · S'P का गुणनफल ज्ञात करते हैं: (a - ex_P)(a + ex_P) = a² - e²x_P²। हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त पर x_P का मान -a ≤ x_P ≤ a के बीच होता है।

अब हम SP · S'P का गुणनफल ज्ञात करते हैं: (a - ex_P)(a + ex_P) = a² - e²x_P²। हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त पर x_P का मान -a ≤ x_P ≤ a के बीच होता है।

SP · S'P = a² - e²x_P² के न्यूनतम मान के लिए, x_P² का मान अधिकतम होना चाहिए, जो a² है (जब x_P = ± a)। अतः, min(SP · S'P) = a² - e²a² = a²(1 - e²) = b² = 9। अधिकतम मान के लिए, x_P² का मान न्यूनतम होना चाहिए, जो 0 है (जब x_P = 0)। अतः, max(SP · S'P) = a² - e²(0)² = a² = 18।

SP · S'P = a² - e²x_P² के न्यूनतम मान के लिए, x_P² का मान अधिकतम होना चाहिए, जो a² है (जब x_P = ± a)। अतः, min(SP · S'P) = a² - e²a² = a²(1 - e²) = b² = 9। अधिकतम मान के लिए, x_P² का मान न्यूनतम होना चाहिए, जो 0 है (जब x_P = 0)। अतः, max(SP · S'P) = a² - e²(0)² = a² = 18।

अब हम न्यूनतम और अधिकतम मानों का योग ज्ञात करते हैं: min(SP · S'P) + max(SP · S'P) = b² + a² = 9 + 18 = 27।

If $S$ and $S'$ are the foci of the ellipse $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ and $P$ is a point on the ellipse, then $\min\bigl(SP\cdot S'P\bigr) + \max\bigl(SP\cdot S'P\bigr)$ is equal to:

Answer: 27

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त के समीकरण की पहचान करें और प्राचलों को ज्ञात करें

दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। इसे दीर्घवृत्त के मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करके, हम $a^2 = 18$ और $b^2 = 9$ प्राप्त करते हैं। इससे $a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ और $b = \sqrt{9} = 3$ मिलता है।

Step 2: उत्केंद्रता (e) और नाभियों (foci) के निर्देशांक ज्ञात करें

दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ सूत्र $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $9 = 18(1 - e^2)$ मिलता है, जिससे $e^2 = 1 - \frac{9}{18} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ । इसलिए, $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ । नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं। $ae = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$ । अतः, नाभियाँ $S=(3{,}0)$ और $S'=(-3{,}0)$ हैं।

Step 3: दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु P के लिए SP और S'P के मान ज्ञात करें

दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P(x_P, y_P)$ के लिए, नाभियों से दूरी $SP = a - ex_P$ और $S'P = a + ex_P$ होती है।

Step 4: $SP \cdot S'P$ के गुणनफल की गणना करें

अब हम $SP \cdot S'P$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं: $(a - ex_P)(a + ex_P) = a^2 - e^2x_P^2$ । हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त पर $x_P$ का मान $-a \le x_P \le a$ के बीच होता है।

Step 5: न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करें

$SP \cdot S'P = a^2 - e^2x_P^2$ के न्यूनतम मान के लिए, $x_P^2$ का मान अधिकतम होना चाहिए, जो $a^2$ है (जब $x_P = \pm a$ )। अतः, $\min(SP \cdot S'P) = a^2 - e^2a^2 = a^2(1 - e^2) = b^2 = 9$ । अधिकतम मान के लिए, $x_P^2$ का मान न्यूनतम होना चाहिए, जो $0$ है (जब $x_P = 0$ )। अतः, $\max(SP \cdot S'P) = a^2 - e^2(0)^2 = a^2 = 18$ ।

Step 6: न्यूनतम और अधिकतम मानों का योग ज्ञात करें

अब हम न्यूनतम और अधिकतम मानों का योग ज्ञात करते हैं: $\min(SP \cdot S'P) + \max(SP \cdot S'P) = b^2 + a^2 = 9 + 18 = 27$ ।

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If SSS and S′S'S′ are the foci of the ellipse x218+y29=1\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 118x2​+9y2​=1 and PPP is a point on the ellipse, then min⁡(SP⋅S′P)+max⁡(SP⋅S′P)\min\bigl(SP\cdot S'P\bigr) + \max\bigl(SP\cdot S'P\bigr)min(SP⋅S′P)+max(SP⋅S′P) is equal to: