If sin⁡x+sin⁡2x=1\sin x + \sin^2 x = 1, x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), then (cos⁡12x+tan⁡12x)+3(cos⁡10x+tan⁡10x+cos⁡8x+tan⁡8x)+(cos⁡6x+tan⁡6x)\left(\cos^{12} x + \tan^{12} x\right) + 3\left(\cos^{10} x + \tan^{10} x + \cos^8 x + \tan^8 x\right) + \left(\cos^6 x + \tan^6 x\right) is equal to:

Answer: 2

Step-by-step solution

Step 1: दी गई समीकरण को सरल करना

हमें दिया गया है कि sin⁡x+sin⁡2x=1\sin x + \sin^2 x = 1 । हम इस समीकरण को sin⁡x\sin x के लिए हल कर सकते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 का उपयोग करके, हम 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x को cos⁡2x\cos^2 x से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Step 2: व्यंजक को sin⁡x\sin x और cos⁡x\cos x के पदों में व्यक्त करना

पहले चरण से, हमें cos⁡2x=sin⁡x\cos^2 x = \sin x प्राप्त हुआ। अब हम इस संबंध का उपयोग करके cos⁡x\cos x की उच्च घातों को sin⁡x\sin x की घातों में बदलेंगे।

Step 3: दिए गए व्यंजक को सरल करना

अब हम दिए गए व्यंजक में cos⁡2x=sin⁡x\cos^2 x = \sin x और tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} का उपयोग करके सभी पदों को sin⁡x\sin x के पदों में बदलेंगे। फिर हम व्यंजक को सरल करेंगे।

Step 4: अंतिम मान की गणना

हमने व्यंजक को 2sin⁡3x(sin⁡x+1)32\sin^3 x (\sin x + 1)^3 के रूप में सरल किया है। अब हम sin⁡x+sin⁡2x=1\sin x + \sin^2 x = 1 का उपयोग करके sin⁡x+1\sin x + 1 का मान ज्ञात करेंगे। sin⁡x+1=1sin⁡x\sin x + 1 = \frac{1}{\sin x} को प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंतिम मान प्राप्त होगा।

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