हम जानते हैं कि एक वृत्त में, केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण (रेडियन में) चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के बराबर होता है। इसे θ = (l)/(r) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ l चाप की लंबाई है और r त्रिज्या है। इसलिए, चाप की लंबाई l = rθ होगी।

हम जानते हैं कि एक वृत्त में, केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण (रेडियन में) चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के बराबर होता है। इसे θ = (l)/(r) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ l चाप की लंबाई है और r त्रिज्या है। इसलिए, चाप की लंबाई l = rθ होगी।

If the arcs of the same lengths in two circles subtend angles $65^{\circ}$ and $110^{\circ}$ at the centre, find the ratio of their radii.

Answer: त्रिज्याओं का अनुपात $22:13$ है।

Step-by-step solution

Step 1: कोण को रेडियन में बदलें

हम जानते हैं कि एक वृत्त में, केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण (रेडियन में) चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के बराबर होता है। इसे $\theta = \frac{l}{r}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $l$ चाप की लंबाई है और $r$ त्रिज्या है। इसलिए, चाप की लंबाई $l = r\theta$ होगी।

Step 2: दिए गए कोणों को रेडियन में परिवर्तित करें

दिए गए कोण डिग्री में हैं, लेकिन सूत्र में कोण रेडियन में होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करते हैं।

Step 3: चाप की लंबाई के लिए समीकरण स्थापित करें

चूंकि दोनों वृत्तों में चाप की लंबाई समान है, हम $l_1 = l_2$ लिख सकते हैं। इसलिए, $r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2$ होगा।

Step 4: त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करें

अब हम रेडियन में परिवर्तित कोणों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और त्रिज्याओं के अनुपात के लिए हल करते हैं। $\frac{\pi}{180}$ दोनों तरफ से कट जाएगा। फिर हम अनुपात को सरल करते हैं।

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