समाकलन को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि यदि f(x) एक सम फलन है, तो ∫_-c^(c) f(x) dx = 2 ∫_0^(c) f(x) dx, और यदि f(x) एक विषम फलन है, तो ∫_-c^(c) f(x) dx = 0।

समाकलन को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि यदि f(x) एक सम फलन है, तो ∫_-c^(c) f(x) dx = 2 ∫_0^(c) f(x) dx, और यदि f(x) एक विषम फलन है, तो ∫_-c^(c) f(x) dx = 0।

स्थिरांक a का समाकलन 2a है। e^(|x|) एक सम फलन है, इसलिए हम इसे 2 ∫_0^(1) e^x dx के रूप में लिख सकते हैं। e^(-x) न तो सम है और न ही विषम, इसलिए हम इसका सीधे मूल्यांकन करते हैं।

स्थिरांक a का समाकलन 2a है। e^(|x|) एक सम फलन है, इसलिए हम इसे 2 ∫_0^(1) e^x dx के रूप में लिख सकते हैं। e^(-x) न तो सम है और न ही विषम, इसलिए हम इसका सीधे मूल्यांकन करते हैं।

If the area of the region $\{(x, y) : -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}, a > 0\}$ is $\frac{\pi^2 + 8e + 1}{e}$ , then the value of $a$ is:

Answer: $a = \frac{\pi^2 + 10e - e^2}{2e}$

Step-by-step solution

Step 1: क्षेत्रफल के लिए समाकलन स्थापित करें

दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$ -अक्ष के ऊपर फलन $y = a + e^{|x|} - e^{-x}$ के अंतर्गत समाकलन द्वारा दिया जाता है, जहाँ $x$ की सीमाएँ $-1$ से $1$ तक हैं।

Step 2: समाकलन को सम और विषम भागों में विभाजित करें

समाकलन को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि यदि $f(x)$ एक सम फलन है, तो $\int_{-c}^{c} f(x) dx = 2 \int_{0}^{c} f(x) dx$ , और यदि $f(x)$ एक विषम फलन है, तो $\int_{-c}^{c} f(x) dx = 0$ ।

Step 3: समाकलन का मूल्यांकन करें

स्थिरांक $a$ का समाकलन $2a$ है। $e^{|x|}$ एक सम फलन है, इसलिए हम इसे $2 \int_{0}^{1} e^x dx$ के रूप में लिख सकते हैं। $e^{-x}$ न तो सम है और न ही विषम, इसलिए हम इसका सीधे मूल्यांकन करते हैं।

Step 4: सभी समाकलनों को संयोजित करें

अब हम सभी व्यक्तिगत समाकलनों के परिणामों को जोड़ते हैं ताकि कुल क्षेत्रफल का व्यंजक प्राप्त हो सके।

Step 5: दिए गए क्षेत्रफल के साथ तुलना करें और $a$ के लिए हल करें

हम अपने प्राप्त क्षेत्रफल के व्यंजक को दिए गए क्षेत्रफल के मान के बराबर करते हैं और $a$ के लिए हल करते हैं।

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If the area of the region {(x,y):−1≤x≤1,0≤y≤a+e∣x∣−e−x,a>0}\{(x, y) : -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}, a > 0\}{(x,y):−1≤x≤1,0≤y≤a+e∣x∣−e−x,a>0} is π2+8e+1e\frac{\pi^2 + 8e + 1}{e}eπ2+8e+1​, then the value of aaa is: