If the area of the region {(x,y):−1≤x≤1,0≤y≤a+e∣x∣−e−x,a>0} is eπ2+8e+1, then the value of a is:
Get the complete, step-by-step math solution for: "If the area of the region \{(x, y) : -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ a + e^{|x|} - e^{-x}, a > 0\} is (π² + 8e + 1)/(e), then the value of a is:". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: क्षेत्रफल के लिए समाकलन स्थापित करें
दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल x -अक्ष के ऊपर फलन y=a+e∣x∣−e−x के अंतर्गत समाकलन द्वारा दिया जाता है, जहाँ x की सीमाएँ −1 से 1 तक हैं।
Step 2: समाकलन को सम और विषम भागों में विभाजित करें
समाकलन को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि यदि f(x) एक सम फलन है, तो ∫−ccf(x)dx=2∫0cf(x)dx, और यदि f(x) एक विषम फलन है, तो ∫−ccf(x)dx=0 ।
Step 3: समाकलन का मूल्यांकन करें
स्थिरांक a का समाकलन 2a है। e∣x∣ एक सम फलन है, इसलिए हम इसे 2∫01exdx के रूप में लिख सकते हैं। e−x न तो सम है और न ही विषम, इसलिए हम इसका सीधे मूल्यांकन करते हैं।
Step 4: सभी समाकलनों को संयोजित करें
अब हम सभी व्यक्तिगत समाकलनों के परिणामों को जोड़ते हैं ताकि कुल क्षेत्रफल का व्यंजक प्राप्त हो सके।
Step 5: दिए गए क्षेत्रफल के साथ तुलना करें और a के लिए हल करें
हम अपने प्राप्त क्षेत्रफल के व्यंजक को दिए गए क्षेत्रफल के मान के बराबर करते हैं और a के लिए हल करते हैं।