If the domain of the function f(x)=log7(1−log4(x2−9x+18)) is (α,β)∪(γ,δ), then α+β+γ+δ is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: डोमेन के लिए शर्तें निर्धारित करें
एक लघुगणकीय फलन logb(a) तभी परिभाषित होता है जब उसका आधार b>0, b=1 हो और उसका तर्क a>0 हो। हमारे फलन f(x)=log7(1−log4(x2−9x+18)) के लिए, हमें दो शर्तों को पूरा करना होगा: पहला, बाहरी लघुगणक का तर्क 1−log4(x2−9x+18) धनात्मक होना चाहिए, और दूसरा, आंतरिक लघुगणक का तर्क x2−9x+18 धनात्मक होना चाहिए।
Step 2: पहली शर्त हल करें: x2−9x+18>0
हम द्विघात व्यंजक x2−9x+18 के गुणनखंड करते हैं। इसके मूल x=3 और x=6 हैं। चूंकि यह एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, इसलिए व्यंजक x2−9x+18 धनात्मक होगा जब x मूलों के बाहर होगा, यानी x<3 या x>6 ।
Step 3: दूसरी शर्त हल करें: 1−log4(x2−9x+18)>0
असमानता 1−log4(x2−9x+18)>0 को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें log4(x2−9x+18)<1 मिलता है। चूंकि लघुगणक का आधार 4>1 है, हम असमानता की दिशा बदले बिना लघुगणक को हटा सकते हैं। इससे x2−9x+18<4 या x2−9x+14<0 प्राप्त होता है।
Step 4: दूसरी शर्त के लिए द्विघात असमानता हल करें
द्विघात व्यंजक x2−9x+14 के गुणनखंड (x-2)(x-7) हैं। इसके मूल x=2 और x=7 हैं। चूंकि यह एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, इसलिए व्यंजक x2−9x+14 ऋणात्मक होगा जब x मूलों के बीच होगा, यानी 2<x<7 ।
Step 5: दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें
फलन के डोमेन के लिए, x को दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए। पहली शर्त से x∈(−∞,3)∪(6,∞) और दूसरी शर्त से x∈(2,7) प्राप्त होता है। इन दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन (2,3)∪(6,7) है।
Step 6: α+β+γ+δ का मान ज्ञात करें
दिए गए डोमेन (α,β)∪(γ,δ) की तुलना हमारे प्राप्त डोमेन (2,3)∪(6,7) से करने पर, हमें α=2, β=3, γ=6 और δ=7 मिलता है। इन मानों को जोड़ने पर हमें 2+3+6+7=18 प्राप्त होता है।