एक लघुगणकीय फलन log_b(a) तभी परिभाषित होता है जब उसका आधार b > 0, b ≠ 1 हो और उसका तर्क a > 0 हो। हमारे फलन f(x)=log_7 (1-log_4(x²-9x+18)) के लिए, हमें दो शर्तों को पूरा करना होगा: पहला, बाहरी लघुगणक का तर्क 1-log_4(x²-9x+18) धनात्मक होना चाहिए, और दूसरा, आंतरिक लघुगणक का तर्क x²-9x+18 धनात्मक होना चाहिए।

एक लघुगणकीय फलन log_b(a) तभी परिभाषित होता है जब उसका आधार b > 0, b ≠ 1 हो और उसका तर्क a > 0 हो। हमारे फलन f(x)=log_7 (1-log_4(x²-9x+18)) के लिए, हमें दो शर्तों को पूरा करना होगा: पहला, बाहरी लघुगणक का तर्क 1-log_4(x²-9x+18) धनात्मक होना चाहिए, और दूसरा, आंतरिक लघुगणक का तर्क x²-9x+18 धनात्मक होना चाहिए।

असमानता 1-log_4(x²-9x+18) > 0 को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें log_4(x²-9x+18) 1 है, हम असमानता की दिशा बदले बिना लघुगणक को हटा सकते हैं। इससे x²-9x+18 < 4 या x²-9x+14 < 0 प्राप्त होता है।

असमानता 1-log_4(x²-9x+18) > 0 को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें log_4(x²-9x+18) 1 है, हम असमानता की दिशा बदले बिना लघुगणक को हटा सकते हैं। इससे x²-9x+18 < 4 या x²-9x+14 < 0 प्राप्त होता है।

फलन के डोमेन के लिए, x को दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए। पहली शर्त से x (-∞, 3) (6, ∞) और दूसरी शर्त से x (2, 7) प्राप्त होता है। इन दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन (2, 3) (6, 7) है।

फलन के डोमेन के लिए, x को दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए। पहली शर्त से x (-∞, 3) (6, ∞) और दूसरी शर्त से x (2, 7) प्राप्त होता है। इन दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन (2, 3) (6, 7) है।

दिए गए डोमेन (α,β) (,) की तुलना हमारे प्राप्त डोमेन (2, 3) (6, 7) से करने पर, हमें α=2, β=3, =6 और =7 मिलता है। इन मानों को जोड़ने पर हमें 2+3+6+7=18 प्राप्त होता है।

दिए गए डोमेन (α,β) (,) की तुलना हमारे प्राप्त डोमेन (2, 3) (6, 7) से करने पर, हमें α=2, β=3, =6 और =7 मिलता है। इन मानों को जोड़ने पर हमें 2+3+6+7=18 प्राप्त होता है।

If the domain of the function $f(x)=\log_7\bigl(1-\log_4(x^2-9x+18)\bigr)$ is $(\alpha,\beta)\cup(\gamma,\delta)$ , then $\alpha+\beta+\gamma+\delta$ is equal to:

Answer: 18

Step-by-step solution

Step 1: डोमेन के लिए शर्तें निर्धारित करें

एक लघुगणकीय फलन $\log_b(a)$ तभी परिभाषित होता है जब उसका आधार $b > 0$ , $b \neq 1$ हो और उसका तर्क $a > 0$ हो। हमारे फलन $f(x)=\log_7\bigl(1-\log_4(x^2-9x+18)\bigr)$ के लिए, हमें दो शर्तों को पूरा करना होगा: पहला, बाहरी लघुगणक का तर्क $1-\log_4(x^2-9x+18)$ धनात्मक होना चाहिए, और दूसरा, आंतरिक लघुगणक का तर्क $x^2-9x+18$ धनात्मक होना चाहिए।

Step 2: पहली शर्त हल करें: $x^2-9x+18 > 0$

हम द्विघात व्यंजक $x^2-9x+18$ के गुणनखंड करते हैं। इसके मूल $x=3$ और $x=6$ हैं। चूंकि यह एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, इसलिए व्यंजक $x^2-9x+18$ धनात्मक होगा जब $x$ मूलों के बाहर होगा, यानी $x < 3$ या $x > 6$ ।

Step 3: दूसरी शर्त हल करें: $1-\log_4(x^2-9x+18) > 0$

असमानता $1-\log_4(x^2-9x+18) > 0$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें $\log_4(x^2-9x+18) < 1$ मिलता है। चूंकि लघुगणक का आधार $4 > 1$ है, हम असमानता की दिशा बदले बिना लघुगणक को हटा सकते हैं। इससे $x^2-9x+18 < 4$ या $x^2-9x+14 < 0$ प्राप्त होता है।

Step 4: दूसरी शर्त के लिए द्विघात असमानता हल करें

द्विघात व्यंजक $x^2-9x+14$ के गुणनखंड $(x-2)(x-7)$ हैं। इसके मूल $x=2$ और $x=7$ हैं। चूंकि यह एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, इसलिए व्यंजक $x^2-9x+14$ ऋणात्मक होगा जब $x$ मूलों के बीच होगा, यानी $2 < x < 7$ ।

Step 5: दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें

फलन के डोमेन के लिए, $x$ को दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए। पहली शर्त से $x \in (-\infty, 3) \cup (6, \infty)$ और दूसरी शर्त से $x \in (2, 7)$ प्राप्त होता है। इन दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन $(2, 3) \cup (6, 7)$ है।

Step 6: $\alpha+\beta+\gamma+\delta$ का मान ज्ञात करें

दिए गए डोमेन $(\alpha,\beta)\cup(\gamma,\delta)$ की तुलना हमारे प्राप्त डोमेन $(2, 3) \cup (6, 7)$ से करने पर, हमें $\alpha=2$ , $\beta=3$ , $\gamma=6$ और $\delta=7$ मिलता है। इन मानों को जोड़ने पर हमें $2+3+6+7=18$ प्राप्त होता है।

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If the domain of the function f(x)=log⁡7(1−log⁡4(x2−9x+18))f(x)=\log_7\bigl(1-\log_4(x^2-9x+18)\bigr)f(x)=log7​(1−log4​(x2−9x+18)) is (α,β)∪(γ,δ)(\alpha,\beta)\cup(\gamma,\delta)(α,β)∪(γ,δ), then α+β+γ+δ\alpha+\beta+\gamma+\deltaα+β+γ+δ is equal to: