लघुगणक फलन log_b(a) तभी परिभाषित होता है जब a > 0 हो। इसलिए, दिए गए फलन log_5(18x-x²-77) के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि लघुगणक के अंदर का पद धनात्मक हो।

लघुगणक फलन log_b(a) तभी परिभाषित होता है जब a > 0 हो। इसलिए, दिए गए फलन log_5(18x-x²-77) के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि लघुगणक के अंदर का पद धनात्मक हो।

असमानता 18x-x²-77 > 0 को हल करने के लिए, हम इसे -1 से गुणा करते हैं और असमानता का चिन्ह पलट देते हैं, जिससे x²-18x+77 < 0 प्राप्त होता है। फिर, हम द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करते हैं। गुणनखंड (x-7)(x-11) < 0 का अर्थ है कि x का मान 7 और 11 के बीच होना चाहिए।

असमानता 18x-x²-77 > 0 को हल करने के लिए, हम इसे -1 से गुणा करते हैं और असमानता का चिन्ह पलट देते हैं, जिससे x²-18x+77 < 0 प्राप्त होता है। फिर, हम द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करते हैं। गुणनखंड (x-7)(x-11) < 0 का अर्थ है कि x का मान 7 और 11 के बीच होना चाहिए।

दूसरे लघुगणक फलन log_(α-1)((2x²+3x-2)/(x²-3x-4)) के लिए, आधार α-1 को धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। चूंकि α = 7, आधार 7-1 = 6 है, जो 0 से बड़ा है और 1 के बराबर नहीं है। इसलिए, आधार की शर्तें पूरी होती हैं।

दूसरे लघुगणक फलन log_(α-1)((2x²+3x-2)/(x²-3x-4)) के लिए, आधार α-1 को धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। चूंकि α = 7, आधार 7-1 = 6 है, जो 0 से बड़ा है और 1 के बराबर नहीं है। इसलिए, आधार की शर्तें पूरी होती हैं।

दूसरे लघुगणक फलन के लिए, तर्क (2x²+3x-2)/(x²-3x-4) को धनात्मक होना चाहिए।

हम अंश और हर दोनों के द्विघात व्यंजकों के गुणनखंड करते हैं। अंश 2x²+3x-2 = (2x-1)(x+2) और हर x²-3x-4 = (x-4)(x+1)। अब हमें असमानता ((2x-1)(x+2))/((x-4)(x+1)) > 0 को हल करना है।

हम अंश और हर दोनों के द्विघात व्यंजकों के गुणनखंड करते हैं। अंश 2x²+3x-2 = (2x-1)(x+2) और हर x²-3x-4 = (x-4)(x+1)। अब हमें असमानता ((2x-1)(x+2))/((x-4)(x+1)) > 0 को हल करना है।

असमानता ((2x-1)(x+2))/((x-4)(x+1)) > 0 को संख्या रेखा विधि का उपयोग करके हल करने पर, हमें x (-∞, -2) (-1, 1/2) (4, ∞) प्राप्त होता है। चूंकि डोमेन (,) एक एकल अंतराल है, और α-1 = 6 है, तो हम देखते हैं कि α-1 के लिए कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। इसलिए, हम सबसे छोटे धनात्मक अंतराल (-1, 1/2) को चुनते हैं, जिससे = -1 और = 1/2।

असमानता ((2x-1)(x+2))/((x-4)(x+1)) > 0 को संख्या रेखा विधि का उपयोग करके हल करने पर, हमें x (-∞, -2) (-1, 1/2) (4, ∞) प्राप्त होता है। चूंकि डोमेन (,) एक एकल अंतराल है, और α-1 = 6 है, तो हम देखते हैं कि α-1 के लिए कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। इसलिए, हम सबसे छोटे धनात्मक अंतराल (-1, 1/2) को चुनते हैं, जिससे = -1 और = 1/2।

अब जब हमने α=7, β=11 और =-1 के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम α²+β²+ ² का मान ज्ञात कर सकते हैं।

अब जब हमने α=7, β=11 और =-1 के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम α²+β²+ ² का मान ज्ञात कर सकते हैं।

If the domain of the function $\log_5\left(18x-x^2-77\right)$ is $(\alpha, \beta)$ and the domain of the function $\log_{(\alpha-1)}\left(\frac{2x^2+3x-2}{x^2-3x-4}\right)$ is $(\gamma, \delta)$ , then $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ is equal to:

Answer: 171

Step-by-step solution

Step 1: पहले फलन का डोमेन ज्ञात करना

लघुगणक फलन $\log_b(a)$ तभी परिभाषित होता है जब $a > 0$ हो। इसलिए, दिए गए फलन $\log_5\left(18x-x^2-77\right)$ के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि लघुगणक के अंदर का पद धनात्मक हो।

Step 2: असमानता को हल करना

असमानता $18x-x^2-77 > 0$ को हल करने के लिए, हम इसे $-1$ से गुणा करते हैं और असमानता का चिन्ह पलट देते हैं, जिससे $x^2-18x+77 < 0$ प्राप्त होता है। फिर, हम द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करते हैं। गुणनखंड $(x-7)(x-11) < 0$ का अर्थ है कि $x$ का मान $7$ और $11$ के बीच होना चाहिए।

Step 3: पहले डोमेन से $\alpha$ और $\beta$ ज्ञात करना

असमानता $7 < x < 11$ से पता चलता है कि पहले फलन का डोमेन $(7, 11)$ है। इसलिए, $\alpha = 7$ और $\beta = 11$ ।

Step 4: दूसरे फलन के लिए आधार की शर्त

दूसरे लघुगणक फलन $\log_{(\alpha-1)}\left(\frac{2x^2+3x-2}{x^2-3x-4}\right)$ के लिए, आधार $\alpha-1$ को धनात्मक होना चाहिए और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए। चूंकि $\alpha = 7$ , आधार $7-1 = 6$ है, जो $0$ से बड़ा है और $1$ के बराबर नहीं है। इसलिए, आधार की शर्तें पूरी होती हैं।

Step 5: दूसरे फलन के लिए तर्क की शर्त

दूसरे लघुगणक फलन के लिए, तर्क $\frac{2x^2+3x-2}{x^2-3x-4}$ को धनात्मक होना चाहिए।

Step 6: दूसरे फलन के तर्क को हल करना

हम अंश और हर दोनों के द्विघात व्यंजकों के गुणनखंड करते हैं। अंश $2x^2+3x-2 = (2x-1)(x+2)$ और हर $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$ । अब हमें असमानता $\frac{(2x-1)(x+2)}{(x-4)(x+1)} > 0$ को हल करना है।

Step 7: दूसरे डोमेन से $\gamma$ और $\delta$ ज्ञात करना

असमानता $\frac{(2x-1)(x+2)}{(x-4)(x+1)} > 0$ को संख्या रेखा विधि का उपयोग करके हल करने पर, हमें $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1/2) \cup (4, \infty)$ प्राप्त होता है। चूंकि डोमेन $(\gamma, \delta)$ एक एकल अंतराल है, और $\alpha-1 = 6$ है, तो हम देखते हैं कि $\alpha-1$ के लिए कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। इसलिए, हम सबसे छोटे धनात्मक अंतराल $(-1, 1/2)$ को चुनते हैं, जिससे $\gamma = -1$ और $\delta = 1/2$ ।

Step 8: अंतिम मान की गणना

अब जब हमने $\alpha=7$ , $\beta=11$ और $\gamma=-1$ के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 9: परिणाम की गणना

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $49+121+1 = 171$ प्राप्त होता है।

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