If the domain of the function log5(18x−x2−77) is (α,β) and the domain of the function log(α−1)(x2−3x−42x2+3x−2) is (γ,δ), then α2+β2+γ2 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: पहले फलन का डोमेन ज्ञात करना
लघुगणक फलन logb(a) तभी परिभाषित होता है जब a>0 हो। इसलिए, दिए गए फलन log5(18x−x2−77) के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि लघुगणक के अंदर का पद धनात्मक हो।
Step 2: असमानता को हल करना
असमानता 18x−x2−77>0 को हल करने के लिए, हम इसे −1 से गुणा करते हैं और असमानता का चिन्ह पलट देते हैं, जिससे x2−18x+77<0 प्राप्त होता है। फिर, हम द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करते हैं। गुणनखंड (x-7)(x-11) < 0 का अर्थ है कि x का मान 7 और 11 के बीच होना चाहिए।
Step 3: पहले डोमेन से α और β ज्ञात करना
असमानता 7<x<11 से पता चलता है कि पहले फलन का डोमेन (7,11) है। इसलिए, α=7 और β=11 ।
Step 4: दूसरे फलन के लिए आधार की शर्त
दूसरे लघुगणक फलन log(α−1)(x2−3x−42x2+3x−2) के लिए, आधार α−1 को धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। चूंकि α=7, आधार 7−1=6 है, जो 0 से बड़ा है और 1 के बराबर नहीं है। इसलिए, आधार की शर्तें पूरी होती हैं।
Step 5: दूसरे फलन के लिए तर्क की शर्त
दूसरे लघुगणक फलन के लिए, तर्क x2−3x−42x2+3x−2 को धनात्मक होना चाहिए।
Step 6: दूसरे फलन के तर्क को हल करना
हम अंश और हर दोनों के द्विघात व्यंजकों के गुणनखंड करते हैं। अंश 2x2+3x−2=(2x−1)(x+2) और हर x2−3x−4=(x−4)(x+1) । अब हमें असमानता (x−4)(x+1)(2x−1)(x+2)>0 को हल करना है।
Step 7: दूसरे डोमेन से γ और δ ज्ञात करना
असमानता (x−4)(x+1)(2x−1)(x+2)>0 को संख्या रेखा विधि का उपयोग करके हल करने पर, हमें x∈(−∞,−2)∪(−1,1/2)∪(4,∞) प्राप्त होता है। चूंकि डोमेन (γ,δ) एक एकल अंतराल है, और α−1=6 है, तो हम देखते हैं कि α−1 के लिए कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। इसलिए, हम सबसे छोटे धनात्मक अंतराल (−1,1/2) को चुनते हैं, जिससे γ=−1 और δ=1/2 ।
Step 8: अंतिम मान की गणना
अब जब हमने α=7, β=11 और γ=−1 के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम α2+β2+γ2 का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 9: परिणाम की गणना
मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 49+121+1=171 प्राप्त होता है।