If the first term of an A.P. is 3 and the sum of its first four terms is equal to one-fifth of the sum of the next four terms, then the sum of the first 20 terms is equal to

Answer: पहले 20 पदों का योग $-1080$ है।

Step-by-step solution

Step 1: दी गई जानकारी को लिखें

हमें समांतर श्रेणी (A.P.) का पहला पद $a=3$ दिया गया है। साथ ही, यह भी दिया गया है कि पहले चार पदों का योग ( $S_4$ ) अगले चार पदों के योग के पाँचवें हिस्से के बराबर है। अगले चार पदों का योग पहले आठ पदों के योग ( $S_8$ ) में से पहले चार पदों के योग ( $S_4$ ) को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।

Step 2: योग के संबंध को सरल करें

दिए गए संबंध $S_4 = \frac{1}{5}(S_8 - S_4)$ को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 5 से गुणा करते हैं। फिर, $S_4$ वाले पदों को एक साथ लाते हैं, जिससे हमें $6S_4 = S_8$ प्राप्त होता है।

Step 3: समांतर श्रेणी के योग का सूत्र लागू करें

समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है, जहाँ $a$ पहला पद और $d$ सार्व अंतर है। हम इस सूत्र का उपयोग $S_4$ और $S_8$ के लिए करते हैं और उन्हें $6S_4 = S_8$ समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: सार्व अंतर ( $d$ ) ज्ञात करें

पिछले चरण के समीकरण को सरल करके, हम सार्व अंतर $d$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। समीकरण को हल करने पर हमें $d = -6$ प्राप्त होता है।

Step 5: पहले 20 पदों का योग ज्ञात करें

अब जब हमें पहला पद $a=3$ और सार्व अंतर $d=-6$ ज्ञात है, तो हम पहले 20 पदों का योग ( $S_{20}$ ) ज्ञात करने के लिए योग सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

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