If the first term of an A.P. is 3 and the sum of its first four terms is equal to one-fifth of the sum of the next four terms, then the sum of the first 20 terms is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: दी गई जानकारी को लिखें
हमें समांतर श्रेणी (A.P.) का पहला पद a=3 दिया गया है। साथ ही, यह भी दिया गया है कि पहले चार पदों का योग (S4) अगले चार पदों के योग के पाँचवें हिस्से के बराबर है। अगले चार पदों का योग पहले आठ पदों के योग (S8) में से पहले चार पदों के योग (S4) को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।
Step 2: योग के संबंध को सरल करें
दिए गए संबंध S4=51(S8−S4) को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 5 से गुणा करते हैं। फिर, S4 वाले पदों को एक साथ लाते हैं, जिससे हमें 6S4=S8 प्राप्त होता है।
Step 3: समांतर श्रेणी के योग का सूत्र लागू करें
समांतर श्रेणी के n पदों के योग का सूत्र Sn=2n[2a+(n−1)d] होता है, जहाँ a पहला पद और d सार्व अंतर है। हम इस सूत्र का उपयोग S4 और S8 के लिए करते हैं और उन्हें 6S4=S8 समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 4: सार्व अंतर (d) ज्ञात करें
पिछले चरण के समीकरण को सरल करके, हम सार्व अंतर d का मान ज्ञात कर सकते हैं। समीकरण को हल करने पर हमें d=−6 प्राप्त होता है।
Step 5: पहले 20 पदों का योग ज्ञात करें
अब जब हमें पहला पद a=3 और सार्व अंतर d=−6 ज्ञात है, तो हम पहले 20 पदों का योग (S20) ज्ञात करने के लिए योग सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।