बिंदु P(1, 0, 3) और रेखा AB पर बिंदु M(4 -, 7 - 2, 1 + 2) के बीच के दिक्-अनुपात ज्ञात करें।

अंत में, हम α, β और के मानों को जोड़कर अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं।

If the image of the point $P(1, 0, 3)$ in the line joining the points $A(4, 7, 1)$ and $B(3, 5, 3)$ is $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ , then $\alpha + \beta + \gamma$ is equal to:

Answer: 14

Step-by-step solution

Step 1: रेखा AB का समीकरण ज्ञात करें

सबसे पहले, हमें बिंदुओं $A(4, 7, 1)$ और $B(3, 5, 3)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना होगा। हम दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं।

Step 2: रेखा AB पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें

रेखा AB के समीकरण में दिए गए बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $\lambda$ के पदों में मिलते हैं। मान लीजिए $M$ रेखा AB पर $P$ का पाद है।

Step 3: PM के दिक्-अनुपात ज्ञात करें

बिंदु $P(1, 0, 3)$ और रेखा AB पर बिंदु $M(4 - \lambda, 7 - 2\lambda, 1 + 2\lambda)$ के बीच के दिक्-अनुपात ज्ञात करें।

Step 4: लंबवत स्थिति का उपयोग करके $\lambda$ ज्ञात करें

चूंकि $PM$ रेखा AB के लंबवत है, इसलिए उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा। इस समीकरण को हल करने पर हमें $\lambda$ का मान प्राप्त होता है।

Step 5: पाद M के निर्देशांक ज्ञात करें

$\lambda = 3$ के मान को रेखा AB पर बिंदु $M$ के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $M$ के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

Step 6: प्रतिबिंब Q के निर्देशांक ज्ञात करें

चूंकि $M$ बिंदु $P$ और उसके प्रतिबिंब $Q$ का मध्यबिंदु है, हम मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

Step 7: अंतिम योगफल ज्ञात करें

अंत में, हम $\alpha, \beta$ और $\gamma$ के मानों को जोड़कर अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं।

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If the image of the point P(1,0,3)P(1, 0, 3)P(1,0,3) in the line joining the points A(4,7,1)A(4, 7, 1)A(4,7,1) and B(3,5,3)B(3, 5, 3)B(3,5,3) is Q(α,β,γ)Q(\alpha, \beta, \gamma)Q(α,β,γ), then α+β+γ\alpha + \beta + \gammaα+β+γ is equal to: