समीकरण को सरल करने पर, हम देखते हैं कि x² और y² वाले पद रद्द हो जाते हैं, जिससे x और y में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।

समीकरण को सरल करने पर, हम देखते हैं कि x² और y² वाले पद रद्द हो जाते हैं, जिससे x और y में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।

If the imaginary part of $\frac{2 z+1}{i z+1}$ is -2 , then show that the locus of the point representing $z$ in the argand plane is a straight line.

Answer: बिंदु $z$ का बिंदुपथ एक सीधी रेखा है जिसका समीकरण $x + 2y - 2 = 0$ है।

Step-by-step solution

Step 1: सम्मिश्र संख्या को मानक रूप में व्यक्त करना

सबसे पहले, हम सम्मिश्र संख्या $z$ को $x+iy$ के रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ $x$ वास्तविक भाग है और $y$ काल्पनिक भाग है। फिर, हम दिए गए व्यंजक में $z$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं और इसे $a+ib$ के मानक रूप में लाने के लिए अंश और हर को सरल करते हैं।

Step 2: हर को वास्तविक बनाना

हर को वास्तविक बनाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं। हर का संयुग्मी $(1-y)-ix$ है।

Step 3: व्यंजक का काल्पनिक भाग ज्ञात करना

अब हम अंश को गुणा करते हैं और काल्पनिक भाग को अलग करते हैं। काल्पनिक भाग वह पद है जिसमें $i$ शामिल है।

Step 4: काल्पनिक भाग को -2 के बराबर रखना

समस्या के अनुसार, दिए गए व्यंजक का काल्पनिक भाग -2 के बराबर है। हम इस समीकरण को सरल करते हैं।

Step 5: समीकरण को सरल करना

समीकरण को सरल करने पर, हम देखते हैं कि $x^2$ और $y^2$ वाले पद रद्द हो जाते हैं, जिससे $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।

Step 6: बिंदुपथ की पहचान करना

यह समीकरण $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण है, जो आर्गंड तल में एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

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If the imaginary part of 2z+1iz+1\frac{2 z+1}{i z+1}iz+12z+1​ is -2 , then show that the locus of the point representing zzz in the argand plane is a straight line.