If the imaginary part of iz+12z+1 is -2 , then show that the locus of the point representing z in the argand plane is a straight line.
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Step-by-Step Solution
Step 1: सम्मिश्र संख्या को मानक रूप में व्यक्त करना
सबसे पहले, हम सम्मिश्र संख्या z को x+iy के रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ x वास्तविक भाग है और y काल्पनिक भाग है। फिर, हम दिए गए व्यंजक में z का मान प्रतिस्थापित करते हैं और इसे a+ib के मानक रूप में लाने के लिए अंश और हर को सरल करते हैं।
Step 2: हर को वास्तविक बनाना
हर को वास्तविक बनाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं। हर का संयुग्मी (1-y)-ix है।
Step 3: व्यंजक का काल्पनिक भाग ज्ञात करना
अब हम अंश को गुणा करते हैं और काल्पनिक भाग को अलग करते हैं। काल्पनिक भाग वह पद है जिसमें i शामिल है।
Step 4: काल्पनिक भाग को -2 के बराबर रखना
समस्या के अनुसार, दिए गए व्यंजक का काल्पनिक भाग -2 के बराबर है। हम इस समीकरण को सरल करते हैं।
Step 5: समीकरण को सरल करना
समीकरण को सरल करने पर, हम देखते हैं कि x2 और y2 वाले पद रद्द हो जाते हैं, जिससे x और y में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।
Step 6: बिंदुपथ की पहचान करना
यह समीकरण x और y में एक रैखिक समीकरण है, जो आर्गंड तल में एक सीधी रेखा को दर्शाता है।