If the orthocentre of the triangle formed by the lines $y = x + 1$ , $y = 4x - 8$ and $y = m x + c$ is at $(3, -1)$ , then $m - c$ is:

Answer: $4m + 1$

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के समीकरण और लंबकेन्द्र का उपयोग करें

हमें तीन रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं जो एक त्रिभुज बनाती हैं। हमें यह भी दिया गया है कि त्रिभुज का लंबकेन्द्र $(3, -1)$ पर है। लंबकेन्द्र त्रिभुज के शीर्षों से खींचे गए शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

Step 2: शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें

सबसे पहले, हम रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करते हैं, जो त्रिभुज का एक शीर्ष है। $y = x+1$ और $y = 4x-8$ को हल करने पर $x=3, y=4$ मिलता है। अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक $m$ और $c$ के पदों में व्यक्त किए जाते हैं।

Step 3: शीर्षलंबों की प्रवणताएँ ज्ञात करें

रेखा $L_1$ की प्रवणता $1$ है, इसलिए $L_1$ पर लंब शीर्षलंब की प्रवणता $-1$ होगी। इसी प्रकार, रेखा $L_2$ की प्रवणता $4$ है, इसलिए $L_2$ पर लंब शीर्षलंब की प्रवणता $-1/4$ होगी।

Step 4: लंबकेन्द्र का उपयोग करके समीकरण स्थापित करें

शीर्ष $A(3{,}4)$ से लंबकेन्द्र $H(3,-1)$ तक की रेखा $AD$ की प्रवणता अपरिभाषित है, जिसका अर्थ है कि $AD$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। यह इंगित करता है कि $L_1$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए, जो कि नहीं है। यह एक त्रुटि है। लंबकेन्द्र $H(3,-1)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब $AD$ की प्रवणता $L_1$ के लंबवत होनी चाहिए। $L_1$ की प्रवणता $1$ है, इसलिए $AD$ की प्रवणता $-1$ होनी चाहिए। $A(3{,}4)$ और $H(3,-1)$ के बीच की प्रवणता $\frac{4 - (-1)}{3 - 3}$ है, जो अपरिभाषित है। इसका मतलब है कि $AD$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। यदि $AD$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, तो $L_1$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए, लेकिन $L_1: y=x+1$ की प्रवणता $1$ है। यह एक विरोधाभास है।

Step 5: सही दृष्टिकोण: लंबकेन्द्र और शीर्षों का उपयोग करें

लंबकेन्द्र $H(3,-1)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब $AD$ की प्रवणता $L_1$ की प्रवणता के ऋणात्मक व्युत्क्रम के बराबर होनी चाहिए। $L_1$ की प्रवणता $1$ है, इसलिए $m_{AD} = -1$ है। इसी प्रकार, $L_2$ की प्रवणता $4$ है, इसलिए $m_{BE} = -1/4$ है। $L_3$ की प्रवणता $m$ है, इसलिए $m_{CF} = -1/m$ है।

Step 6: लंबकेन्द्र के माध्यम से शीर्षलंबों के समीकरण

अब हम लंबकेन्द्र $H(3,-1)$ और संबंधित प्रवणताओं का उपयोग करके शीर्षलंबों $AD$ और $BE$ के समीकरण ज्ञात करते हैं।

Step 7: शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें

शीर्ष $C$ शीर्षलंब $AD$ और रेखा $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, और यह शीर्षलंब $BE$ और रेखा $L_3$ का भी प्रतिच्छेदन बिंदु है। हम $x_C$ के लिए दो अलग-अलग व्यंजक प्राप्त करते हैं।

Step 8: m और c के लिए समीकरण हल करें

दोनों व्यंजकों को बराबर करके, हम $m$ और $c$ के बीच एक संबंध प्राप्त करते हैं।

Step 9: m - c का मान ज्ञात करें

अब हम $m-c$ का मान ज्ञात करने के लिए $c$ के लिए प्राप्त व्यंजक का उपयोग करते हैं।

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If the orthocentre of the triangle formed by the lines y=x+1y = x + 1y=x+1, y=4x−8y = 4x - 8y=4x−8 and y=mx+cy = m x + cy=mx+c is at (3,−1)(3, -1)(3,−1), then m−cm - cm−c is: