If the probability that the random variable XX takes the value xx is given by P(X=x)=k (x+1)3−x,x=0,1,2,…,P(X=x)=k\,(x+1)3^{-x},\quad x=0{,}1{,}2,\dots, where kk is a constant, then P(X≥3)P(X\ge3) is equal to:

Answer: P(X≥3)=19P(X\ge3) = \frac{1}{9}

Step-by-step solution

Step 1: प्रायिकता वितरण का योग

किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए, सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए। इस गुण का उपयोग हम स्थिरांक kk का मान ज्ञात करने के लिए करेंगे।

Step 2: स्थिरांक kk का मान ज्ञात करना

हम जानते हैं कि ∑x=0∞(x+1)rx=1(1−r)2\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = \frac{1}{(1-r)^2} जब ∣r∣<1|r|<1 । यहाँ r=3−1=13r = 3^{-1} = \frac{1}{3} है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम kk का मान 49\frac{4}{9} प्राप्त करते हैं।

Step 3: P(X≥3)P(X\ge3) की गणना

प्रायिकता P(X≥3)P(X\ge3) की गणना करने के लिए, हम पूरक घटना का उपयोग करते हैं। इसका मतलब है कि P(X≥3)P(X\ge3) को 1−P(X<3)1 - P(X<3) के रूप में लिखा जा सकता है, जो 1−[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] के बराबर है।

Step 4: व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना

अब हम x=0,1,2x=0, 1, 2 के लिए व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना करते हैं, k=49k = \frac{4}{9} का उपयोग करते हुए।

Step 5: अंतिम प्रायिकता की गणना

सभी व्यक्तिगत प्रायिकताओं को जोड़ने और उन्हें 1 में से घटाने पर, हमें P(X≥3)P(X\ge3) का मान प्राप्त होता है।

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