If the probability that the random variable X takes the value x is given by P(X=x)=k(x+1)3−x,x=0,1,2,…, where k is a constant, then P(X≥3) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: प्रायिकता वितरण का योग
किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए, सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए। इस गुण का उपयोग हम स्थिरांक k का मान ज्ञात करने के लिए करेंगे।
Step 2: स्थिरांक k का मान ज्ञात करना
हम जानते हैं कि ∑x=0∞(x+1)rx=(1−r)21 जब ∣r∣<1 । यहाँ r=3−1=31 है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम k का मान 94 प्राप्त करते हैं।
Step 3: P(X≥3) की गणना
प्रायिकता P(X≥3) की गणना करने के लिए, हम पूरक घटना का उपयोग करते हैं। इसका मतलब है कि P(X≥3) को 1 - P(X<3) के रूप में लिखा जा सकता है, जो 1−[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] के बराबर है।
Step 4: व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना
अब हम x=0,1,2 के लिए व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना करते हैं, k=94 का उपयोग करते हुए।
Step 5: अंतिम प्रायिकता की गणना
सभी व्यक्तिगत प्रायिकताओं को जोड़ने और उन्हें 1 में से घटाने पर, हमें P(X≥3) का मान प्राप्त होता है।