दिए गए समीकरण को f(x) = a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ f(x) = 5x³ - 15x है। समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए, y = f(x) का ग्राफ क्षैतिज रेखा y = a को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटना चाहिए।

दिए गए समीकरण को f(x) = a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ f(x) = 5x³ - 15x है। समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए, y = f(x) का ग्राफ क्षैतिज रेखा y = a को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटना चाहिए।

अब हम β और α के मानों को दिए गए व्यंजक β - 2α में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।

अब हम β और α के मानों को दिए गए व्यंजक β - 2α में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।

If the set of all values of $a$ , for which the equation $5x^3 - 15x - a = 0$ has three distinct real roots, is the interval $(\alpha, \beta)$ , then $\beta - 2\alpha$ is equal to

Answer: 30

Step-by-step solution

Step 1: फलन को परिभाषित करें

दिए गए समीकरण को $f(x) = a$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ $f(x) = 5x^3 - 15x$ है। समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए, $y = f(x)$ का ग्राफ क्षैतिज रेखा $y = a$ को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटना चाहिए।

Step 2: स्थानीय चरम मान ज्ञात करें

स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम $f(x)$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर सेट करते हैं। इससे हमें $x$ के मान मिलते हैं जहाँ फलन के चरम मान होते हैं।

Step 3: स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मानों की गणना करें

अब हम $x = 1$ और $x = -1$ पर फलन के मानों की गणना करते हैं। $f(1)$ स्थानीय न्यूनतम मान है और $f(-1)$ स्थानीय अधिकतम मान है।

Step 4: अंतराल $(\alpha, \beta)$ निर्धारित करें

समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए, $a$ का मान स्थानीय न्यूनतम मान और स्थानीय अधिकतम मान के बीच होना चाहिए। इसलिए, $a$ का अंतराल $(-10, 10)$ है, जिसका अर्थ है $\alpha = -10$ और $\beta = 10$ ।

Step 5: अंतिम व्यंजक की गणना करें

अब हम $\beta$ और $\alpha$ के मानों को दिए गए व्यंजक $\beta - 2\alpha$ में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।

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If the set of all values of aaa, for which the equation 5x3−15x−a=05x^3 - 15x - a = 05x3−15x−a=0 has three distinct real roots, is the interval (α,β)(\alpha, \beta)(α,β), then β−2α\beta - 2\alphaβ−2α is equal to