If the set of all values of a, for which the equation 5x3−15x−a=0 has three distinct real roots, is the interval (α,β), then β−2α is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन को परिभाषित करें
दिए गए समीकरण को f(x)=a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ f(x)=5x3−15x है। समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए, y=f(x) का ग्राफ क्षैतिज रेखा y=a को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटना चाहिए।
Step 2: स्थानीय चरम मान ज्ञात करें
स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम f(x) का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर सेट करते हैं। इससे हमें x के मान मिलते हैं जहाँ फलन के चरम मान होते हैं।
Step 3: स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मानों की गणना करें
अब हम x=1 और x=−1 पर फलन के मानों की गणना करते हैं। f(1) स्थानीय न्यूनतम मान है और f(−1) स्थानीय अधिकतम मान है।
Step 4: अंतराल (α,β) निर्धारित करें
समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए, a का मान स्थानीय न्यूनतम मान और स्थानीय अधिकतम मान के बीच होना चाहिए। इसलिए, a का अंतराल (−10,10) है, जिसका अर्थ है α=−10 और β=10 ।
Step 5: अंतिम व्यंजक की गणना करें
अब हम β और α के मानों को दिए गए व्यंजक β−2α में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।