If the shortest distance between the lines x−12=y−23=z−34\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} and x1=yα=z−51\frac{x}{1} = \frac{y}{\alpha} = \frac{z - 5}{1} is 56\frac{5}{\sqrt{6}}, then the sum of all possible values of α\alpha is:

Answer: संभावित मानों का योग −3-3 है।

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के समीकरणों की पहचान करें

सबसे पहले, हम दी गई रेखाओं के समीकरणों को उनके सदिश रूप में पहचानते हैं। पहली रेखा बिंदु (1,2,3)(1, 2, 3) से गुजरती है और सदिश (2,3,4)(2, 3, 4) के समानांतर है। दूसरी रेखा बिंदु (0,0,5)(0, 0, 5) से गुजरती है और सदिश (1,α,1)(1, \alpha, 1) के समानांतर है।

Step 2: सबसे छोटी दूरी का सूत्र लागू करें

दो विषम रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी का सूत्र दिया गया है। हम इस सूत्र का उपयोग करके α\alpha का मान ज्ञात करेंगे।

Step 3: आवश्यक सदिशों की गणना करें

अब हम सूत्र में आवश्यक सदिशों की गणना करते हैं: a⃗2−a⃗1\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}, b⃗1×b⃗2\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}, और उनके डॉट उत्पाद और परिमाण।

Step 4: दूरी के सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें

दूरी के सूत्र में गणना किए गए मानों और दी गई दूरी को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: समीकरण को हल करें

अब हम α\alpha के लिए समीकरण को हल करते हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करने और समीकरण को सरल बनाने पर, हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर α\alpha के दो मान प्राप्त होते हैं।

Step 6: संभावित मानों का योग ज्ञात करें

α\alpha के सभी संभावित मानों का योग 1+(−4)=−31 + (-4) = -3 है।

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