हर को गुणनखंडित करने के लिए, हम 3k² को 4k²-k² के रूप में फिर से लिखते हैं। यह हमें (a²-b²)=(a-b)(a+b) सूत्र का उपयोग करके हर को गुणनखंडित करने की अनुमति देता है।

हर को गुणनखंडित करने के लिए, हम 3k² को 4k²-k² के रूप में फिर से लिखते हैं। यह हमें (a²-b²)=(a-b)(a+b) सूत्र का उपयोग करके हर को गुणनखंडित करने की अनुमति देता है।

If the sum of the first 20 terms of the series $\displaystyle\frac{4\cdot1}{4+3\cdot1^2+1^4}+\frac{4\cdot2}{4+3\cdot2^2+2^4}+\frac{4\cdot3}{4+3\cdot3^2+3^4}+\dots$ is $\tfrac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are coprime, then $m+n$ is equal to:

Answer: 421

Step-by-step solution

Step 1: श्रृंखला के सामान्य पद को पहचानें

दी गई श्रृंखला के पैटर्न का अवलोकन करके, हम $k$ -वें पद को $T_k$ के रूप में लिख सकते हैं। यह हमें श्रृंखला के किसी भी पद को $k$ के फलन के रूप में व्यक्त करने में मदद करता है।

Step 2: सामान्य पद को सरल करें

हर को गुणनखंडित करने के लिए, हम $3k^2$ को $4k^2-k^2$ के रूप में फिर से लिखते हैं। यह हमें $(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$ सूत्र का उपयोग करके हर को गुणनखंडित करने की अनुमति देता है।

Step 3: आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करें

हम $T_k$ को आंशिक भिन्नों में विघटित करते हैं। यह हमें श्रृंखला को एक टेलीस्कोपिंग योग के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है, जिससे योग की गणना करना आसान हो जाता है।

Step 4: श्रृंखला के पहले 20 पदों का योग ज्ञात करें

यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है। जब हम पदों को जोड़ते हैं, तो मध्य पद रद्द हो जाते हैं, केवल पहला और अंतिम पद बचता है।

Step 5: योग की गणना करें

टेलीस्कोपिंग योग के कारण, अधिकांश पद रद्द हो जाते हैं। केवल $k=1$ के लिए पहले पद का पहला भाग और $k=20$ के लिए अंतिम पद का दूसरा भाग बचता है।

Step 6: $m+n$ का मान ज्ञात करें

हमें योग $\frac{210}{211}$ प्राप्त हुआ है। चूंकि $210$ और $211$ सहअभाज्य हैं (क्योंकि $211$ एक अभाज्य संख्या है), तो $m=210$ और $n=211$ । अब हम $m+n$ की गणना करते हैं।

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