पिछले चरण से प्राप्त सारणिक समीकरण को सरल करके हमें और के बीच एक संबंध मिलता है।

पिछले चरण से प्राप्त सारणिक समीकरण को सरल करके हमें और के बीच एक संबंध मिलता है।

अब जब हमने और के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम उनका योग ज्ञात कर सकते हैं।

If the system of equations $x + 2y - 3z = 2$ , $2x + \lambda y + 5z = 5$ , $14x + 3y + \mu z = 33$ has infinitely many solutions, then $\lambda + \mu$ is equal to:

Answer: $\lambda + \mu = 12$

Step-by-step solution

Step 1: गुणांक मैट्रिक्स और संवर्धित मैट्रिक्स लिखें

दिए गए समीकरणों के निकाय को मैट्रिक्स रूप $AX = B$ में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $A$ गुणांक मैट्रिक्स है और $[A|B]$ संवर्धित मैट्रिक्स है। अनंत हल होने के लिए, मैट्रिक्स $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए और $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|B]) < \text{चरों की संख्या}$ होनी चाहिए।

Step 2: सारणिक $A$ को शून्य के बराबर करें

अनंत हल होने के लिए, गुणांक मैट्रिक्स $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए। हम सारणिक का विस्तार करते हैं और इसे शून्य के बराबर सेट करते हैं।

Step 3: सारणिक समीकरण को सरल करें

पिछले चरण से प्राप्त सारणिक समीकरण को सरल करके हमें $\lambda$ और $\mu$ के बीच एक संबंध मिलता है।

Step 4: अनंत हल के लिए रैंक की शर्त लागू करें

अनंत हल के लिए, $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|B]) < 3$ होना चाहिए। इसका मतलब है कि संवर्धित मैट्रिक्स में कम से कम एक पंक्ति पूरी तरह से शून्य होनी चाहिए। हम पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके मैट्रिक्स को एकोलोन रूप में बदलते हैं।

Step 5: अंतिम पंक्ति को शून्य के बराबर करें

अनंत हल के लिए, संवर्धित मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति में सभी तत्व शून्य होने चाहिए। इससे हमें $\lambda$ और $\mu$ के मान मिलते हैं।

Step 6: $\lambda + \mu$ का मान ज्ञात करें

अब जब हमने $\lambda$ और $\mu$ के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम उनका योग ज्ञात कर सकते हैं।

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If the system of equations x+2y−3z=2x + 2y - 3z = 2x+2y−3z=2, 2x+λy+5z=52x + \lambda y + 5z = 52x+λy+5z=5, 14x+3y+μz=3314x + 3y + \mu z = 3314x+3y+μz=33 has infinitely many solutions, then λ+μ\lambda + \muλ+μ is equal to: