अब, हम सारणिक का विस्तार करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं। यह हमें α और β के बीच एक संबंध देगा।

अब, हम सारणिक का विस्तार करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं। यह हमें α और β के बीच एक संबंध देगा।

सारणिक के विस्तार को सरल बनाने पर हमें 3α + 4β - αβ + 3 = 0 प्राप्त होता है।

D_x का विस्तार करने और उसे सरल बनाने पर हमें 3α - 6β - 4αβ + 5 = 0 प्राप्त होता है।

अनंत हल के लिए, D=0, D_x=0, D_y=0, और D_z=0 होना चाहिए। हमने D=0 और D_x=0 से दो समीकरण प्राप्त किए। अब हम D_y=0 का उपयोग करके β का मान ज्ञात करते हैं। फिर, हम β के मान को D=0 और D_x=0 से प्राप्त समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करके α का मान ज्ञात करते हैं। अंत में, हम 22β - 9α का मान ज्ञात करते हैं।

अनंत हल के लिए, D=0, D_x=0, D_y=0, और D_z=0 होना चाहिए। हमने D=0 और D_x=0 से दो समीकरण प्राप्त किए। अब हम D_y=0 का उपयोग करके β का मान ज्ञात करते हैं। फिर, हम β के मान को D=0 और D_x=0 से प्राप्त समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करके α का मान ज्ञात करते हैं। अंत में, हम 22β - 9α का मान ज्ञात करते हैं।

If the system of linear equations $3x + y + \beta z = 3$ , $2x + \alpha y - z = -3$ , $x + 2y + z = 4$ has infinitely many solutions, then the value of $22\beta - 9\alpha$ is:

Answer: $31$

Step-by-step solution

Step 1: गुणांकों का सारणिक ज्ञात करना

रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए, गुणांकों का सारणिक (डिटरमिनेंट) शून्य होना चाहिए। सबसे पहले, हम दिए गए समीकरणों के गुणांकों से एक सारणिक $D$ बनाते हैं।

Step 2: सारणिक का विस्तार करना

अब, हम सारणिक का विस्तार करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं। यह हमें $\alpha$ और $\beta$ के बीच एक संबंध देगा।

Step 3: सारणिक को सरल बनाना

सारणिक के विस्तार को सरल बनाने पर हमें $3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

Step 4: क्रैमर के नियम का उपयोग करना

अनंत हल होने के लिए, $D_x$ , $D_y$ , और $D_z$ भी शून्य होने चाहिए। हम $D_x$ को शून्य के बराबर सेट करते हैं।

Step 5: $D_x$ का विस्तार और सरल बनाना

$D_x$ का विस्तार करने और उसे सरल बनाने पर हमें $3\alpha - 6\beta - 4\alpha\beta + 5 = 0$ प्राप्त होता है।

Step 6: समीकरणों को हल करना

अनंत हल के लिए, $D=0$ , $D_x=0$ , $D_y=0$ , और $D_z=0$ होना चाहिए। हमने $D=0$ और $D_x=0$ से दो समीकरण प्राप्त किए। अब हम $D_y=0$ का उपयोग करके $\beta$ का मान ज्ञात करते हैं। फिर, हम $\beta$ के मान को $D=0$ और $D_x=0$ से प्राप्त समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करके $\alpha$ का मान ज्ञात करते हैं। अंत में, हम $22\beta - 9\alpha$ का मान ज्ञात करते हैं।

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If the system of linear equations 3x+y+βz=33x + y + \beta z = 33x+y+βz=3, 2x+αy−z=−32x + \alpha y - z = -32x+αy−z=−3, x+2y+z=4x + 2y + z = 4x+2y+z=4 has infinitely many solutions, then the value of 22β−9α22\beta - 9\alpha22β−9α is: