If θ∈[−7π6,4π3]\theta \in \left[-\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}\right], then the number of solutions of 3csc⁡2θ−2(3−1)csc⁡θ−4=0\sqrt{3}\csc^2\theta - 2(\sqrt{3} - 1)\csc\theta - 4 = 0, is equal to:

Answer: 4

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण को सरल करें

दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम पहले मध्य पद को विभाजित करके इसे सरल करते हैं। यह हमें गुणनखंडन के लिए तैयार करने में मदद करता है।

Step 2: गुणनखंडन करें

अब हम सामान्य पद (csc⁡θ−2)(\csc\theta - 2) को बाहर निकालते हैं। इससे हमें दो गुणनखंड मिलते हैं, जिन्हें शून्य के बराबर सेट किया जा सकता है।

Step 3: cosecθ के मान ज्ञात करें

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर, हमें csc⁡θ\csc\theta के दो संभावित मान मिलते हैं।

Step 4: sinθ के मान ज्ञात करें

चूंकि csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} है, हम sin⁡θ\sin\theta के संगत मान ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेते हैं।

Step 5: दिए गए अंतराल में हल ज्ञात करें

दिए गए अंतराल [−7π6,4π3]\left[-\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}\right] में, जो कि [−210∘,240∘]\left[-210^\circ, 240^\circ\right] के बराबर है, हम sin⁡θ=−32\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} और sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2} के लिए θ\theta के मानों की पहचान करते हैं। sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2} के लिए, θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} (30∘30^\circ) और θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6} (150∘150^\circ) इस अंतराल में हैं। sin⁡θ=−32\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} के लिए, θ=−2π3\theta = -\frac{2\pi}{3} (−120∘-120^\circ) और θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3} (−60∘-60^\circ) इस अंतराल में हैं। इसलिए, कुल 4 हल हैं।

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