If x=f(y) is the solution of the differential equation (1+y2)+(x−2etan−1y)dxdy=0,y∈(−2π,2π) with f(0)=1, then f(31) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को रैखिक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें
दिए गए अवकल समीकरण को पहले dydx के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि इसे रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप में लाया जा सके। यह हमें x के लिए एक रैखिक समीकरण देगा।
Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें
रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हमें समाकलन गुणक (Integrating Factor) की आवश्यकता होती है। समाकलन गुणक e∫P(y)dy सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यहाँ, P(y)=1+y21 है।
Step 3: अवकल समीकरण को हल करें
समाकलन गुणक का उपयोग करके, हम अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करते हैं। समीकरण का हल x⋅IF=∫(Q(y)⋅IF)dy+C द्वारा दिया जाता है।
Step 4: स्थिरांक C का मान ज्ञात करें
दिए गए प्रारंभिक मान f(0)=1 का उपयोग करके, हम समाकलन स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं। y=0 रखने पर x=1 प्राप्त होता है।
Step 5: अंतिम हल ज्ञात करें
स्थिरांक C का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें अवकल समीकरण का विशिष्ट हल प्राप्त होता है। यह x=f(y) के रूप में हमारा अंतिम हल है।
Step 6: f(1/ 3) का मान ज्ञात करें
अब, y=31 को हल में प्रतिस्थापित करके f(31) का मान ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि tan−1(31)=6π ।