If x=f(y)x=f(y) is the solution of the differential equation (1+y2)+(x−2etan⁡−1y)dydx=0,y∈(−π2,π2)\left(1+y^2\right) + \left(x - 2e^{\tan^{-1} y}\right) \frac{dy}{dx} = 0, y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) with f(0)=1f(0)=1, then f(13)f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) is equal to:

Answer: 2eπ6+e−π62e^{\frac{\pi}{6}} + e^{-\frac{\pi}{6}}

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को रैखिक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए अवकल समीकरण को पहले dxdy\frac{dx}{dy} के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि इसे रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप में लाया जा सके। यह हमें xx के लिए एक रैखिक समीकरण देगा।

Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें

रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हमें समाकलन गुणक (Integrating Factor) की आवश्यकता होती है। समाकलन गुणक e∫P(y)dye^{\int P(y) dy} सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यहाँ, P(y)=11+y2P(y) = \frac{1}{1+y^2} है।

Step 3: अवकल समीकरण को हल करें

समाकलन गुणक का उपयोग करके, हम अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करते हैं। समीकरण का हल x⋅IF=∫(Q(y)⋅IF)dy+Cx \cdot \text{IF} = \int (Q(y) \cdot \text{IF}) dy + C द्वारा दिया जाता है।

Step 4: स्थिरांक C का मान ज्ञात करें

दिए गए प्रारंभिक मान f(0)=1f(0)=1 का उपयोग करके, हम समाकलन स्थिरांक CC का मान ज्ञात करते हैं। y=0y=0 रखने पर x=1x=1 प्राप्त होता है।

Step 5: अंतिम हल ज्ञात करें

स्थिरांक CC का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें अवकल समीकरण का विशिष्ट हल प्राप्त होता है। यह x=f(y)x=f(y) के रूप में हमारा अंतिम हल है।

Step 6: f(1/31/\sqrt{3}) का मान ज्ञात करें

अब, y=13y = \frac{1}{\sqrt{3}} को हल में प्रतिस्थापित करके f(13)f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) का मान ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि tan⁡−1(13)=π6\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} ।

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