हम अंश में (A+B)² = A²+B²+2AB सूत्र का उपयोग करते हैं और हर में (A-B)(A+B) = A²-B² सूत्र का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि i² = -1।

हम अंश में (A+B)² = A²+B²+2AB सूत्र का उपयोग करते हैं और हर में (A-B)(A+B) = A²-B² सूत्र का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि i² = -1।

हम x और y के मानों को x²+y² में प्रतिस्थापित करते हैं। अंश को सरल करने के लिए हम (A-B)² = A²+B²-2AB और (A+B)² = A²+B²+2AB सूत्रों का उपयोग करते हैं।

हम x और y के मानों को x²+y² में प्रतिस्थापित करते हैं। अंश को सरल करने के लिए हम (A-B)² = A²+B²-2AB और (A+B)² = A²+B²+2AB सूत्रों का उपयोग करते हैं।

If $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ , prove that $x^{2}+y^{2}=1$ .

Answer: सिद्ध किया गया कि $x^{2}+y^{2}=1$ ।

Step-by-step solution

Step 1: दी गई समीकरण को लिखें

हमें दिया गया है कि $x+iy$ एक जटिल संख्या के बराबर है। हमें यह सिद्ध करना है कि $x^2+y^2=1$ ।

Step 2: हर का परिमेयकरण करें

हर में से काल्पनिक भाग को हटाने के लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर दोनों को गुणा करते हैं। हर का संयुग्मी $a-ib$ है $a+ib$ ।

Step 3: अंश और हर को सरल करें

हम अंश में $(A+B)^2 = A^2+B^2+2AB$ सूत्र का उपयोग करते हैं और हर में $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ सूत्र का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि $i^2 = -1$ ।

Step 4: वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करें

अब हम समीकरण के दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करते हैं।

Step 5: $x^2+y^2$ का मान ज्ञात करें

हम $x$ और $y$ के मानों को $x^2+y^2$ में प्रतिस्थापित करते हैं। अंश को सरल करने के लिए हम $(A-B)^2 = A^2+B^2-2AB$ और $(A+B)^2 = A^2+B^2+2AB$ सूत्रों का उपयोग करते हैं।

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If x+iy=a+iba−ibx+i y=\frac{a+i b}{a-i b}x+iy=a−iba+ib​, prove that x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1x2+y2=1.