If x+iy=a−iba+ib, prove that x2+y2=1.
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Step-by-Step Solution
Step 1: दी गई समीकरण को लिखें
हमें दिया गया है कि x+iy एक जटिल संख्या के बराबर है। हमें यह सिद्ध करना है कि x2+y2=1 ।
Step 2: हर का परिमेयकरण करें
हर में से काल्पनिक भाग को हटाने के लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर दोनों को गुणा करते हैं। हर का संयुग्मी a-ib है a+ib ।
Step 3: अंश और हर को सरल करें
हम अंश में (A+B)2=A2+B2+2AB सूत्र का उपयोग करते हैं और हर में (A−B)(A+B)=A2−B2 सूत्र का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि i2=−1 ।
Step 4: वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करें
अब हम समीकरण के दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करते हैं।
Step 5: x2+y2 का मान ज्ञात करें
हम x और y के मानों को x2+y2 में प्रतिस्थापित करते हैं। अंश को सरल करने के लिए हम (A−B)2=A2+B2−2AB और (A+B)2=A2+B2+2AB सूत्रों का उपयोग करते हैं।