हम पदों को इस प्रकार समूहित करते हैं कि वे पूर्ण वर्ग के सूत्र (a-b)² = a² - 2ab + b² के रूप में बन जाएं। इससे हमें (x-y)² + (y-z)² + (z-x)² = 0 मिलता है।

हम पदों को इस प्रकार समूहित करते हैं कि वे पूर्ण वर्ग के सूत्र (a-b)² = a² - 2ab + b² के रूप में बन जाएं। इससे हमें (x-y)² + (y-z)² + (z-x)² = 0 मिलता है।

If x² + y² + z² = xy + yz + zx, prove that $x = y = z$ and find the value of (x+y+z)²/(x²+y²+z²).

Answer: $x = y = z$ और $\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2} = 3$

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

हमें दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$ है। इसे एक तरफ शून्य के बराबर करने के लिए, हम $xy + yz + zx$ को समीकरण के बाईं ओर ले जाते हैं।

Step 2: समीकरण को 2 से गुणा करें

हम समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करते हैं। यह हमें अगले चरण में पूर्ण वर्ग बनाने में मदद करेगा।

Step 3: पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें

हम पदों को इस प्रकार समूहित करते हैं कि वे पूर्ण वर्ग के सूत्र $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ के रूप में बन जाएं। इससे हमें $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0$ मिलता है।

Step 4: $x = y = z$ सिद्ध करें

चूंकि वर्गों का योग शून्य है, और वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं, इसका मतलब है कि प्रत्येक वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसलिए, $x-y=0$ , $y-z=0$ , और $z-x=0$ , जिससे $x=y=z$ सिद्ध होता है।

Step 5: व्यंजक का मान ज्ञात करें

चूंकि हमने सिद्ध किया है कि $x=y=z$ , हम $y$ और $z$ को $x$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। फिर हम व्यंजक को सरल करते हैं।

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If x² + y² + z² = xy + yz + zx, prove that x=y=zx = y = zx=y=z and find the value of (x+y+z)²/(x²+y²+z²).