If x² + y² + z² = xy + yz + zx, prove that x=y=z and find the value of (x+y+z)²/(x²+y²+z²).
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Step-by-Step Solution
Step 1: दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें
हमें दिया गया समीकरण x2+y2+z2=xy+yz+zx है। इसे एक तरफ शून्य के बराबर करने के लिए, हम xy + yz + zx को समीकरण के बाईं ओर ले जाते हैं।
Step 2: समीकरण को 2 से गुणा करें
हम समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करते हैं। यह हमें अगले चरण में पूर्ण वर्ग बनाने में मदद करेगा।
Step 3: पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें
हम पदों को इस प्रकार समूहित करते हैं कि वे पूर्ण वर्ग के सूत्र (a−b)2=a2−2ab+b2 के रूप में बन जाएं। इससे हमें (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=0 मिलता है।
Step 4: x=y=z सिद्ध करें
चूंकि वर्गों का योग शून्य है, और वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं, इसका मतलब है कि प्रत्येक वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए। इसलिए, x−y=0, y−z=0, और z−x=0, जिससे x=y=z सिद्ध होता है।
Step 5: व्यंजक का मान ज्ञात करें
चूंकि हमने सिद्ध किया है कि x=y=z, हम y और z को x से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। फिर हम व्यंजक को सरल करते हैं।