हमें दिया गया है कि y = cos((π)/(3) + cos^(-1)(x)/(2))। हम इस समीकरण को सरल करके x और y के बीच संबंध ज्ञात करेंगे।

हमें दिया गया है कि y = cos((π)/(3) + cos^(-1)(x)/(2))। हम इस समीकरण को सरल करके x और y के बीच संबंध ज्ञात करेंगे।

हम cos(π)/(3) = (1)/(2) और sin(π)/(3) = (√3)/(2) के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

हम cosθ = (x)/(2) और sinθ = √(1 - cos²θ) = √(1 - ((x)/(2))²) का उपयोग करके y को x के पदों में व्यक्त करते हैं।

अब हम दिए गए व्यंजक (x - y)² + 3y² में y के मान को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल करते हैं।

अब हम दिए गए व्यंजक (x - y)² + 3y² में y के मान को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल करते हैं।

If $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} + \cos^{-1}\frac{x}{2}\right)$ , then $(x - y)^2 + 3y^2$ is equal to:

Answer: 3

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समीकरण को सरल करें

हमें दिया गया है कि $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} + \cos^{-1}\frac{x}{2}\right)$ । हम इस समीकरण को सरल करके $x$ और $y$ के बीच संबंध ज्ञात करेंगे।

Step 2: प्रतिस्थापन का उपयोग करें

हम $\cos^{-1}\frac{x}{2}$ को $\theta$ मानकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे। इससे हमें $x = 2\cos\theta$ मिलता है।

Step 3: योग सूत्र लागू करें

अब हम $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करेंगे, जहाँ $A = \frac{\pi}{3}$ और $B = \theta$ है।

Step 4: मानों को प्रतिस्थापित करें

हम $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: y को x के पदों में व्यक्त करें

हम $\cos\theta = \frac{x}{2}$ और $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}$ का उपयोग करके $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करते हैं।

Step 6: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन करें

अब हम दिए गए व्यंजक $(x - y)^2 + 3y^2$ में $y$ के मान को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल करते हैं।

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If y=cos⁡(π3+cos⁡−1x2)y = \cos\left(\frac{\pi}{3} + \cos^{-1}\frac{x}{2}\right)y=cos(3π​+cos−12x​), then (x−y)2+3y2(x - y)^2 + 3y^2(x−y)2+3y2 is equal to: