In a G.P. of positive terms, if any term is equal to the sum of the next two terms. Then the common ratio of the G.P. is (A) sin⁡18∘\sin 18^{\circ} (B) 2cos⁡18∘2 \cos 18^{\circ} (C) cos⁡18∘\cos 18^{\circ} (D) 2sin⁡18∘2 \sin 18^{\circ}

Answer: (D) 2sin⁡18∘2 \sin 18^{\circ}

Step-by-step solution

Step 1: समस्या को समझना और समीकरण बनाना

हमें दिया गया है कि एक धनात्मक पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में, कोई भी पद अगले दो पदों के योग के बराबर है। मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद aa है और सार्व अनुपात rr है। तब nn -वाँ पद an=arn−1a_n = ar^{n-1} होता है। इस जानकारी का उपयोग करके, हम दिए गए संबंध को एक समीकरण के रूप में लिख सकते हैं।

Step 2: समीकरण को सरल बनाना

गुणोत्तर श्रेणी के पदों के सूत्र an=arn−1a_n = ar^{n-1} का उपयोग करके, हम समीकरण को arn−1=arn+arn+1ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1} के रूप में लिख सकते हैं। अब हम इस समीकरण को सरल करेंगे।

Step 3: सार्व अनुपात के लिए द्विघात समीकरण बनाना

समीकरण के दोनों पक्षों को arn−1ar^{n-1} से विभाजित करने पर (चूंकि पद धनात्मक हैं, a≠0a \neq 0 और r≠0r \neq 0), हमें 1=r+r21 = r + r^2 मिलता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें एक द्विघात समीकरण r2+r−1=0r^2 + r - 1 = 0 प्राप्त होता है।

Step 4: द्विघात सूत्र का उपयोग करके सार्व अनुपात ज्ञात करना

द्विघात समीकरण r2+r−1=0r^2 + r - 1 = 0 को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ a=1a=1, b=1b=1, और c=−1c=-1 है। इससे हमें rr के दो मान प्राप्त होते हैं।

Step 5: धनात्मक सार्व अनुपात का चयन करना

चूंकि गुणोत्तर श्रेणी के पद धनात्मक हैं, सार्व अनुपात rr भी धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, हम r=−1+52r = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} का चयन करते हैं, क्योंकि दूसरा मान r=−1−52r = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} ऋणात्मक है।

Step 6: विकल्पों से मिलान करना

हम जानते हैं कि sin⁡18∘=5−14\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} । हमें प्राप्त r=5−12r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} है। यदि हम rr को 2×5−142 \times \frac{\sqrt{5} - 1}{4} के रूप में लिखते हैं, तो यह 2sin⁡18∘2 \sin 18^{\circ} के बराबर है।

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