Insert three numbers between 1 and 256 so that the resulting sequence is a G.P.

Answer: 1 और 256 के बीच डाली जाने वाली तीन संख्याएँ 4, 16, 64 या -4, 16, -64 हैं।

Step-by-step solution

Step 1: गुणोत्तर श्रेणी की पहचान करें

हमें 1 और 256 के बीच तीन संख्याएँ डालनी हैं ताकि परिणामी अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) बन जाए। इसका मतलब है कि हमारे पास कुल 5 पद होंगे। पहला पद a=1a = 1 और पाँचवाँ पद ar4=256ar^4 = 256 होगा।

Step 2: सार्व अनुपात ज्ञात करें

गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र का उपयोग करते हुए, nn -वाँ पद an=arn−1a_n = ar^{n-1} होता है। यहाँ, a1=a=1a_1 = a = 1 और a5=ar5−1=ar4=256a_5 = ar^{5-1} = ar^4 = 256 है। हम rr के लिए समीकरण को हल करेंगे।

Step 3: सार्व अनुपात के मान की गणना करें

समीकरण r4=256r^4 = 256 को हल करने पर, हमें rr के दो मान मिलते हैं: r=4r = 4 और r=−4r = -4 । ये दोनों मान एक वैध गुणोत्तर श्रेणी बनाएंगे।

Step 4: पहला गुणोत्तर श्रेणी ज्ञात करें (r=4r=4 के लिए)

जब सार्व अनुपात r=4r = 4 होता है, तो हम गुणोत्तर श्रेणी के पदों की गणना कर सकते हैं। पहला पद 1 है, दूसरा पद 1×4=41 \times 4 = 4 है, तीसरा पद 4×4=164 \times 4 = 16 है, और चौथा पद 16×4=6416 \times 4 = 64 है।

Step 5: दूसरा गुणोत्तर श्रेणी ज्ञात करें (r=−4r=-4 के लिए)

जब सार्व अनुपात r=−4r = -4 होता है, तो हम गुणोत्तर श्रेणी के पदों की गणना कर सकते हैं। पहला पद 1 है, दूसरा पद 1×(−4)=−41 \times (-4) = -4 है, तीसरा पद (−4)×(−4)=16(-4) \times (-4) = 16 है, और चौथा पद 16×(−4)=−6416 \times (-4) = -64 है।

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