हम b के मानों को 1 से शुरू करके A में लेते हैं और संगत a मानों की गणना करते हैं। यदि b=1, तो a = 2(1) + 1 = 3. (3,1) R. यदि b=2, तो a = 2(2) + 1 = 5. (5,2) R. यदि b=3, तो a = 2(3) + 1 = 7. (7,3) R. यदि b=4, तो a = 2(4) + 1 = 9. (9,4) R. यदि b=5, तो a = 2(5) + 1 = 11. चूंकि 11 A, इसलिए (11,5) R. b के बड़े मानों के लिए a भी A से बाहर होगा। इसलिए, R = (3,1), (5,2), (7,3), (9,4).

हम b के मानों को 1 से शुरू करके A में लेते हैं और संगत a मानों की गणना करते हैं। यदि b=1, तो a = 2(1) + 1 = 3. (3,1) R. यदि b=2, तो a = 2(2) + 1 = 5. (5,2) R. यदि b=3, तो a = 2(3) + 1 = 7. (7,3) R. यदि b=4, तो a = 2(4) + 1 = 9. (9,4) R. यदि b=5, तो a = 2(5) + 1 = 11. चूंकि 11 A, इसलिए (11,5) R. b के बड़े मानों के लिए a भी A से बाहर होगा। इसलिए, R = (3,1), (5,2), (7,3), (9,4).

Let $A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ and $R$ be a relation on $A$ such that $R = \{(a, b) : a = 2b + 1\}$ . Let $(a_1, a_2), (a_2, a_3), (a_3, a_4), \ldots, (a_k, a_{k+1})$ be a sequence of $k$ elements of $R$ such that the second entry of an ordered pair is equal to the first entry of the next ordered pair. Then the largest integer $k$ , for which such a sequence exists, is equal to:

Answer: 2

Step-by-step solution

Step 1: संबंध R के अवयवों को ज्ञात करना

सबसे पहले, हम दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ पर परिभाषित संबंध $R$ के सभी अवयवों को ज्ञात करेंगे। संबंध $R$ को $a = 2b + 1$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $a$ और $b$ दोनों $A$ के अवयव हैं। हम $b$ के संभावित मानों के लिए $a$ की गणना करेंगे और देखेंगे कि क्या $a$ भी $A$ में है।

Step 2: संबंध R के अवयवों की सूची बनाना

हम $b$ के मानों को $1$ से शुरू करके $A$ में लेते हैं और संगत $a$ मानों की गणना करते हैं। यदि $b=1$ , तो $a = 2(1) + 1 = 3$ . $(3{,}1) \in R$ . यदि $b=2$ , तो $a = 2(2) + 1 = 5$ . $(5{,}2) \in R$ . यदि $b=3$ , तो $a = 2(3) + 1 = 7$ . $(7{,}3) \in R$ . यदि $b=4$ , तो $a = 2(4) + 1 = 9$ . $(9{,}4) \in R$ . यदि $b=5$ , तो $a = 2(5) + 1 = 11$ . चूंकि $11 \notin A$ , इसलिए $(11{,}5) \notin R$ . $b$ के बड़े मानों के लिए $a$ भी $A$ से बाहर होगा। इसलिए, $R = \{(3{,}1), (5{,}2), (7{,}3), (9{,}4)\}$ .

Step 3: अनुक्रम का निर्माण

हमें $k$ तत्वों का एक अनुक्रम बनाना है जहाँ एक क्रमित युग्म की दूसरी प्रविष्टि अगले क्रमित युग्म की पहली प्रविष्टि के बराबर हो। इसका मतलब है कि $a_2$ पहले युग्म का दूसरा अवयव है और दूसरे युग्म का पहला अवयव भी है।

Step 4: सबसे लंबे अनुक्रम को खोजना

हम $R$ के अवयवों का उपयोग करके सबसे लंबा संभव अनुक्रम बनाने का प्रयास करेंगे। हम उस युग्म से शुरू करते हैं जिसकी पहली प्रविष्टि सबसे बड़ी है, जो $(9{,}4)$ है। अगले युग्म की पहली प्रविष्टि $4$ होनी चाहिए, लेकिन $R$ में कोई भी युग्म $4$ से शुरू नहीं होता है। इसलिए, हम एक अलग दृष्टिकोण अपनाते हैं। हम एक ऐसे युग्म से शुरू करते हैं जिसकी दूसरी प्रविष्टि अगले युग्म की पहली प्रविष्टि बन सके। यदि हम $(9{,}4)$ से शुरू करते हैं, तो $a_2=4$ है। क्या कोई युग्म $(4, x)$ है? नहीं। यदि हम $(7{,}3)$ से शुरू करते हैं, तो $a_2=3$ है। क्या कोई युग्म $(3, x)$ है? हाँ, $(3{,}1)$ । तो, हम $(7{,}3) \rightarrow (3{,}1)$ बना सकते हैं। इस अनुक्रम में $k=2$ तत्व हैं। यदि हम $(5{,}2)$ से शुरू करते हैं, तो $a_2=2$ है। क्या कोई युग्म $(2, x)$ है? नहीं। यदि हम $(3{,}1)$ से शुरू करते हैं, तो $a_2=1$ है। क्या कोई युग्म $(1, x)$ है? नहीं। आइए हम अनुक्रम को पीछे की ओर बनाने का प्रयास करें, जहाँ $a_{i+1}$ से $a_i$ प्राप्त होता है। $a_i = 2a_{i+1} + 1$ हम $a_{k+1}$ के सबसे छोटे मान से शुरू करते हैं, जो $1$ है। यदि $a_{k+1} = 1$ , तो $a_k = 2(1) + 1 = 3$ . तो, $(3{,}1)$ एक तत्व है। यदि $a_k = 3$ , तो $a_{k-1} = 2(3) + 1 = 7$ . तो, $(7{,}3)$ एक तत्व है। यदि $a_{k-1} = 7$ , तो $a_{k-2} = 2(7) + 1 = 15$ . लेकिन $15 \notin A$ . तो, हम यहाँ रुक जाते हैं। यह अनुक्रम $(7{,}3), (3{,}1)$ है। इसमें $k=2$ तत्व हैं। आइए हम $a_1$ के सबसे बड़े मान से शुरू करते हैं। यदि $a_1 = 9$ , तो $(9{,}4)$ पहला तत्व है। $a_2 = 4$ . क्या कोई युग्म $(4, x)$ है? नहीं। यदि $a_1 = 7$ , तो $(7{,}3)$ पहला तत्व है। $a_2 = 3$ . क्या कोई युग्म $(3, x)$ है? हाँ, $(3{,}1)$ । तो, अनुक्रम $(7{,}3), (3{,}1)$ है। इस अनुक्रम में $k=2$ तत्व हैं। यदि हम $a_1$ के सबसे बड़े मान से शुरू करते हैं जो एक अनुक्रम का हिस्सा बन सकता है: $a_1 = 9$ , $(9{,}4)$ . $a_2=4$ . $R$ में कोई भी युग्म $4$ से शुरू नहीं होता है। $a_1 = 7$ , $(7{,}3)$ . $a_2=3$ . $R$ में $(3{,}1)$ है। तो, $(7{,}3), (3{,}1)$ एक अनुक्रम है। यहाँ $k=2$ है। $a_1 = 5$ , $(5{,}2)$ . $a_2=2$ . $R$ में कोई भी युग्म $2$ से शुरू नहीं होता है। $a_1 = 3$ , $(3{,}1)$ . $a_2=1$ . $R$ में कोई भी युग्म $1$ से शुरू नहीं होता है। सबसे लंबा अनुक्रम $(7{,}3), (3{,}1)$ है, जिसमें $k=2$ तत्व हैं।

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