Let a1,a2,…,a2024 be an Arithmetic Progression such that a1+(a5+a10+a15+…+a2020)+a2024=2233. Then a1+a2+a3+…+a2024 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समांतर श्रेणी के गुणधर्म का उपयोग करें
एक समांतर श्रेणी में, पहले पद और अंतिम पद का योग, दूसरे पद और अंतिम से दूसरे पद का योग, और इसी तरह, हमेशा समान होता है। इस गुणधर्म का उपयोग करके, हम दिए गए योग को सरल बना सकते हैं।
Step 2: दिए गए योग को सरल करें
दिए गए योग में, हम पदों को इस तरह से समूहित करते हैं कि वे समांतर श्रेणी के गुणधर्म ak+an−k+1=a1+an का उपयोग कर सकें। यहाँ n=2024 है। इसलिए, a5+a2020=a1+a2024, a10+a2015=a1+a2024, और इसी तरह।
Step 3: पदों की संख्या ज्ञात करें
कोष्ठक के अंदर के पद a5,a10,…,a2020 एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका पहला पद a5, सार्व अंतर 5d और अंतिम पद a2020 है। पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र सार्व अंतरअंतिम पद−पहला पद+1 का उपयोग करते हैं।
Step 4: योग को a1+a2024 के पदों में व्यक्त करें
चूंकि a5+a2020=a1+a2024, a10+a2015=a1+a2024, और इसी तरह, कोष्ठक के अंदर के 404 पदों का योग 404×(a1+a2024) होगा। मूल समीकरण में a1+a2024 को भी शामिल करने पर, हमें 405×(a1+a2024)=2233 मिलता है।
Step 5: a1+a2024 का मान ज्ञात करें
समीकरण को हल करने पर, हमें a1+a2024 का मान प्राप्त होता है।
Step 6: समांतर श्रेणी के योग का सूत्र लागू करें
एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग Sn=2n(a1+an) सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ n=2024 है।
Step 7: कुल योग की गणना करें
अब हम n=2024 और a1+a2024 के मान को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।