चूंकि a_5 + a_2020 = a_1 + a_2024, a_10 + a_2015 = a_1 + a_2024, और इसी तरह, कोष्ठक के अंदर के 404 पदों का योग 404 × (a_1 + a_2024) होगा। मूल समीकरण में a_1 + a_2024 को भी शामिल करने पर, हमें 405 × (a_1 + a_2024) = 2233 मिलता है।

चूंकि a_5 + a_2020 = a_1 + a_2024, a_10 + a_2015 = a_1 + a_2024, और इसी तरह, कोष्ठक के अंदर के 404 पदों का योग 404 × (a_1 + a_2024) होगा। मूल समीकरण में a_1 + a_2024 को भी शामिल करने पर, हमें 405 × (a_1 + a_2024) = 2233 मिलता है।

एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग S_n = (n)/(2)(a_1 + a_n) सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ n = 2024 है।

एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग S_n = (n)/(2)(a_1 + a_n) सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ n = 2024 है।

Let $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ be an Arithmetic Progression such that $a_1 + \left(a_5 + a_{10} + a_{15} + \ldots + a_{2020}\right) + a_{2024} = 2233$ . Then $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{2024}$ is equal to:

Answer: $\frac{2259356}{405}$

Step-by-step solution

Step 1: समांतर श्रेणी के गुणधर्म का उपयोग करें

एक समांतर श्रेणी में, पहले पद और अंतिम पद का योग, दूसरे पद और अंतिम से दूसरे पद का योग, और इसी तरह, हमेशा समान होता है। इस गुणधर्म का उपयोग करके, हम दिए गए योग को सरल बना सकते हैं।

Step 2: दिए गए योग को सरल करें

दिए गए योग में, हम पदों को इस तरह से समूहित करते हैं कि वे समांतर श्रेणी के गुणधर्म $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ का उपयोग कर सकें। यहाँ $n = 2024$ है। इसलिए, $a_5 + a_{2020} = a_1 + a_{2024}$ , $a_{10} + a_{2015} = a_1 + a_{2024}$ , और इसी तरह।

Step 3: पदों की संख्या ज्ञात करें

कोष्ठक के अंदर के पद $a_5, a_{10}, \ldots, a_{2020}$ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका पहला पद $a_5$ , सार्व अंतर $5d$ और अंतिम पद $a_{2020}$ है। पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र $\frac{\text{अंतिम पद} - \text{पहला पद}}{\text{सार्व अंतर}} + 1$ का उपयोग करते हैं।

Step 4: योग को $a_1 + a_{2024}$ के पदों में व्यक्त करें

चूंकि $a_5 + a_{2020} = a_1 + a_{2024}$ , $a_{10} + a_{2015} = a_1 + a_{2024}$ , और इसी तरह, कोष्ठक के अंदर के 404 पदों का योग $404 \times (a_1 + a_{2024})$ होगा। मूल समीकरण में $a_1 + a_{2024}$ को भी शामिल करने पर, हमें $405 \times (a_1 + a_{2024}) = 2233$ मिलता है।

Step 5: $a_1 + a_{2024}$ का मान ज्ञात करें

समीकरण को हल करने पर, हमें $a_1 + a_{2024}$ का मान प्राप्त होता है।

Step 6: समांतर श्रेणी के योग का सूत्र लागू करें

एक समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ $n = 2024$ है।

Step 7: कुल योग की गणना करें

अब हम $n=2024$ और $a_1 + a_{2024}$ के मान को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

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