Let A={−3,−2,−1,0,1,2,3}. Let R be a relation on A defined by xRy if and only if 0≤x2+2y≤4. Let ℓ be the number of elements in R and m be the minimum number of elements required to be added to R to make it a reflexive relation. Then ℓ+m is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: संबंध R के अवयवों की गणना करें
हमें समुच्चय A={−3,−2,−1,0,1,2,3} पर परिभाषित संबंध R के अवयवों की संख्या ℓ ज्ञात करनी है। संबंध R को xRy के रूप में परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि 0≤x2+2y≤4 हो। हम A के प्रत्येक x के लिए A के y मानों का परीक्षण करेंगे।
Step 2: प्रत्येक x के लिए y मान ज्ञात करें
हम A के प्रत्येक x के लिए x2 की गणना करते हैं और फिर 0≤x2+2y≤4 असमानता को y के लिए हल करते हैं। इसके बाद, हम A में उन y मानों की पहचान करते हैं जो इस असमानता को संतुष्ट करते हैं।
Step 3: संबंध R के अवयवों की संख्या (ℓ) ज्ञात करें
प्रत्येक x के लिए संगत y मानों की संख्या को जोड़कर, हमें संबंध R में अवयवों की कुल संख्या ℓ मिलती है।
Step 4: परावर्ती संबंध के लिए आवश्यक अवयवों की संख्या (m) ज्ञात करें
एक संबंध परावर्ती होता है यदि A के प्रत्येक अवयव x के लिए (x, x) संबंध R में हो। हम A के प्रत्येक अवयव के लिए x2+2x की गणना करते हैं और जाँचते हैं कि क्या यह 0≤x2+2x≤4 असमानता को संतुष्ट करता है। जिन अवयवों के लिए यह संतुष्ट नहीं होता है, उन्हें परावर्ती बनाने के लिए R में जोड़ना होगा।
Step 5: ℓ + m का मान ज्ञात करें
हमने ℓ (संबंध R में अवयवों की संख्या) और m (परावर्ती बनाने के लिए आवश्यक न्यूनतम अवयवों की संख्या) के मानों की गणना की है। अब हम इन दोनों मानों को जोड़ते हैं।