एक संबंध परावर्ती होता है यदि A के प्रत्येक अवयव x के लिए (x, x) संबंध R में हो। हम A के प्रत्येक अवयव के लिए x² + 2x की गणना करते हैं और जाँचते हैं कि क्या यह 0 ≤ x² + 2x ≤ 4 असमानता को संतुष्ट करता है। जिन अवयवों के लिए यह संतुष्ट नहीं होता है, उन्हें परावर्ती बनाने के लिए R में जोड़ना होगा।

एक संबंध परावर्ती होता है यदि A के प्रत्येक अवयव x के लिए (x, x) संबंध R में हो। हम A के प्रत्येक अवयव के लिए x² + 2x की गणना करते हैं और जाँचते हैं कि क्या यह 0 ≤ x² + 2x ≤ 4 असमानता को संतुष्ट करता है। जिन अवयवों के लिए यह संतुष्ट नहीं होता है, उन्हें परावर्ती बनाने के लिए R में जोड़ना होगा।

Let $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ . Let $R$ be a relation on $A$ defined by $xRy$ if and only if $0 \le x^2 + 2y \le 4$ . Let $\ell$ be the number of elements in $R$ and $m$ be the minimum number of elements required to be added to $R$ to make it a reflexive relation. Then $\ell + m$ is equal to:

Answer: 18

Step-by-step solution

Step 1: संबंध R के अवयवों की गणना करें

हमें समुच्चय $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ पर परिभाषित संबंध $R$ के अवयवों की संख्या $\ell$ ज्ञात करनी है। संबंध $R$ को $xRy$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि $0 \le x^2 + 2y \le 4$ हो। हम $A$ के प्रत्येक $x$ के लिए $A$ के $y$ मानों का परीक्षण करेंगे।

Step 2: प्रत्येक x के लिए y मान ज्ञात करें

हम $A$ के प्रत्येक $x$ के लिए $x^2$ की गणना करते हैं और फिर $0 \le x^2 + 2y \le 4$ असमानता को $y$ के लिए हल करते हैं। इसके बाद, हम $A$ में उन $y$ मानों की पहचान करते हैं जो इस असमानता को संतुष्ट करते हैं।

Step 3: संबंध R के अवयवों की संख्या (ℓ) ज्ञात करें

प्रत्येक $x$ के लिए संगत $y$ मानों की संख्या को जोड़कर, हमें संबंध $R$ में अवयवों की कुल संख्या $\ell$ मिलती है।

Step 4: परावर्ती संबंध के लिए आवश्यक अवयवों की संख्या (m) ज्ञात करें

एक संबंध परावर्ती होता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव $x$ के लिए $(x, x)$ संबंध $R$ में हो। हम $A$ के प्रत्येक अवयव के लिए $x^2 + 2x$ की गणना करते हैं और जाँचते हैं कि क्या यह $0 \le x^2 + 2x \le 4$ असमानता को संतुष्ट करता है। जिन अवयवों के लिए यह संतुष्ट नहीं होता है, उन्हें परावर्ती बनाने के लिए $R$ में जोड़ना होगा।

Step 5: ℓ + m का मान ज्ञात करें

हमने $\ell$ (संबंध $R$ में अवयवों की संख्या) और $m$ (परावर्ती बनाने के लिए आवश्यक न्यूनतम अवयवों की संख्या) के मानों की गणना की है। अब हम इन दोनों मानों को जोड़ते हैं।

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