Let A(6,8)A(6{,}8), B(10cos⁡α,−10sin⁡α)B(10\cos\alpha, -10\sin\alpha) and C(−10sin⁡α,10cos⁡α)C(-10\sin\alpha, 10\cos\alpha), be the vertices of a triangle. If L(a,9)L(a,9) and G(h,k)G(h,k) be its orthocenter and centroid respectively, then (5a−3h+6k+100sin⁡2α)(5a - 3h + 6k + 100\sin 2\alpha) is equal to:

Answer: 45+10cos⁡α−10sin⁡α+100sin⁡2α45 + 10\cos\alpha - 10\sin\alpha + 100\sin 2\alpha

Step-by-step solution

Step 1: त्रिभुज के शीर्षों का विश्लेषण

हमें त्रिभुज ABCABC के शीर्ष दिए गए हैं। हम इन शीर्षों का उपयोग करके त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और ढलान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: भुजाओं की लंबाइयों की गणना

हम दूरी सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयों के वर्ग की गणना करते हैं। यदि AB2=CA2AB^2 = CA^2 है, तो त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

Step 3: भुजाओं की लंबाइयों का सरलीकरण

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके भुजाओं की लंबाइयों के वर्गों को सरल बनाने पर, हम पाते हैं कि AB2=CA2AB^2 = CA^2 है। इससे पता चलता है कि त्रिभुज ABCABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

Step 4: समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

चूंकि AB2=CA2AB^2 = CA^2 है, इसलिए त्रिभुज ABCABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, लंब केंद्र, केंद्रक और परिकेंद्र एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।

Step 5: लंब केंद्र और केंद्रक का निर्धारण

समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष AA से खींची गई माध्यिका, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक सभी एक ही रेखा पर होते हैं। इसलिए, लंब केंद्र LL और केंद्रक GG दोनों AA से BCBC पर खींची गई माध्यिका पर स्थित होंगे। इसका मतलब है कि AA, LL और GG संरेखीय हैं।

Step 6: केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात करना

केंद्रक के निर्देशांक त्रिभुज के शीर्षों के औसत से दिए जाते हैं।

Step 7: लंब केंद्र के x-निर्देशांक की गणना

चूंकि AA, LL और GG संरेखीय हैं, और ALAL रेखा BCBC के लंबवत है। हम BCBC का ढलान ज्ञात करते हैं और फिर ALAL का ढलान ज्ञात करते हैं। ALAL के ढलान का उपयोग करके हम aa का मान ज्ञात करते हैं।

Step 8: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन

अब हम aa, hh और kk के मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे सरल बनाते हैं।

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