दिए गए पहले समीकरण का उपयोग करके, हम आव्यूह A के दूसरे स्तंभ सदिश को निर्धारित कर सकते हैं। जब 0 1 0 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम आव्यूह A का दूसरा स्तंभ होता है। इससे हमें a_12=0, a_22=0, और a_32=1 मिलता है।

दिए गए पहले समीकरण का उपयोग करके, हम आव्यूह A के दूसरे स्तंभ सदिश को निर्धारित कर सकते हैं। जब 0 1 0 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम आव्यूह A का दूसरा स्तंभ होता है। इससे हमें a_12=0, a_22=0, और a_32=1 मिलता है।

दूसरे समीकरण को आव्यूह गुणनफल के रूप में विस्तारित करें। हम जानते हैं कि Ax = x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3। पहले चरण से प्राप्त A के दूसरे स्तंभ के मानों को प्रतिस्थापित करें।

दूसरे समीकरण को आव्यूह गुणनफल के रूप में विस्तारित करें। हम जानते हैं कि Ax = x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3। पहले चरण से प्राप्त A के दूसरे स्तंभ के मानों को प्रतिस्थापित करें।

Let $A = [a_{ij}]$ be a $3 \times 3$ matrix such that $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ , $A \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , then $a_{23}$ equals:

Answer: $a_{23} = -1$

Step-by-step solution

Step 1: आव्यूह गुणनफल को समझना

एक आव्यूह $A$ और एक सदिश $\mathbf{x}$ के गुणनफल को समझने के लिए, हम आव्यूह $A$ को उसके स्तंभ सदिशों के रूप में लिख सकते हैं। यदि $A = \begin{bmatrix} \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3 \end{bmatrix}$ और $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ , तो $A\mathbf{x} = x_1\mathbf{c}_1 + x_2\mathbf{c}_2 + x_3\mathbf{c}_3$ होता है।

Step 2: पहले समीकरण का उपयोग करना

दिए गए पहले समीकरण का उपयोग करके, हम आव्यूह $A$ के दूसरे स्तंभ सदिश को निर्धारित कर सकते हैं। जब $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ से गुणा किया जाता है, तो परिणाम आव्यूह $A$ का दूसरा स्तंभ होता है। इससे हमें $a_{12}=0$ , $a_{22}=0$ , और $a_{32}=1$ मिलता है।

Step 3: दूसरे समीकरण का उपयोग करना

दूसरे समीकरण को आव्यूह गुणनफल के रूप में विस्तारित करें। हम जानते हैं कि $A\mathbf{x} = x_1\mathbf{c}_1 + x_2\mathbf{c}_2 + x_3\mathbf{c}_3$ । पहले चरण से प्राप्त $A$ के दूसरे स्तंभ के मानों को प्रतिस्थापित करें।

Step 4: दूसरे समीकरण को सरल बनाना

दूसरे समीकरण में $A$ के दूसरे स्तंभ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह समीकरण मिलता है। अब हम इसे आगे सरल बना सकते हैं।

Step 5: तीसरे समीकरण का उपयोग करना

तीसरे समीकरण को आव्यूह गुणनफल के रूप में विस्तारित करें और $A$ के दूसरे स्तंभ के मानों को प्रतिस्थापित करें।

Step 6: समीकरणों को हल करना

दूसरे और तीसरे समीकरणों से, हम $a_{21}$ और $a_{23}$ के लिए दो समीकरण प्राप्त करते हैं। समीकरण (2) से, $2a_{21} = -2a_{23}$ , जिसका अर्थ है $a_{21} = -a_{23}$ । इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें।

Step 7: अंतिम मान ज्ञात करना

$a_{21} = -a_{23}$ को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $-4a_{23} + 3a_{23} = 1$ मिलता है, जिसे सरल करने पर $a_{23} = -1$ प्राप्त होता है।

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