एक आव्यूह A व्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक (determinant) शून्य के बराबर न हो। 2 × 2 आव्यूह के लिए, सारणिक a_11a_22 - a_12a_21 होता है। हमें उन आव्यूहों को खोजना होगा जिनके लिए a_11a_22 - a_12a_21 ≠ 0 है।

एक आव्यूह A व्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक (determinant) शून्य के बराबर न हो। 2 × 2 आव्यूह के लिए, सारणिक a_11a_22 - a_12a_21 होता है। हमें उन आव्यूहों को खोजना होगा जिनके लिए a_11a_22 - a_12a_21 ≠ 0 है।

हम उन आव्यूहों की गणना करेंगे जो व्युत्क्रमणीय नहीं हैं (अर्थात, जिनका सारणिक 0 है) और फिर उन्हें कुल आव्यूहों की संख्या से घटा देंगे। सारणिक a_11a_22 - a_12a_21 = 0 होने के लिए, a_11a_22 = a_12a_21 होना चाहिए। संभावित मामले: 1. a_11a_22 = 0 और a_12a_21 = 0: यह तब होता है जब a_11=0 या a_22=0 और a_12=0 या a_21=0। - यदि a_11=0, a_22=0: a_12, a_21 के लिए 4 विकल्प (00, 01, 10, 11)। आव्यूह: 0 & 0 0 & 0, 0 & 0 1 & 0, 0 & 1 0 & 0, 0 & 1 1 & 0 - यदि a_11=1, a_22=0: a_12a_21=0 के लिए 3 विकल्प (00, 01, 10)। आव्यूह: 1 & 0 0 & 0, 1 & 0 1 & 0, 1 & 1 0 & 0 - यदि a_11=0, a_22=1: a_12a_21=0 के लिए 3 विकल्प (00, 01, 10)। आव्यूह: 0 & 0 0 & 1, 0 & 0 1 & 1, 0 & 1 0 & 1 - यदि a_11=1, a_22=1: a_12a_21=1 के लिए 1 विकल्प (11)। आव्यूह: 1 & 1 1 & 1 गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह वे हैं जिनका सारणिक 0 है। - यदि a_11a_22 = 0 और a_12a_21 = 0: इसमें 7 अद्वितीय आव्यूह हैं। - 0 & 0 0 & 0 (सारणिक 0) - 0 & 0 1 & 0 (सारणिक 0) - 0 & 1 0 & 0 (सारणिक 0) - 1 & 0 0 & 0 (सारणिक 0) - 0 & 0 0 & 1 (सारणिक 0) - 0 & 1 0 & 1 (सारणिक 0) - 1 & 0 1 & 0 (सारणिक 0) - यदि a_11a_22 = 1 और a_12a_21 = 1: इसका मतलब है a_11=1, a_22=1 और a_12=1, a_21=1। - 1 & 1 1 & 1 (सारणिक 0) कुल 8 गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।

हम उन आव्यूहों की गणना करेंगे जो व्युत्क्रमणीय नहीं हैं (अर्थात, जिनका सारणिक 0 है) और फिर उन्हें कुल आव्यूहों की संख्या से घटा देंगे। सारणिक a_11a_22 - a_12a_21 = 0 होने के लिए, a_11a_22 = a_12a_21 होना चाहिए। संभावित मामले: 1. a_11a_22 = 0 और a_12a_21 = 0: यह तब होता है जब a_11=0 या a_22=0 और a_12=0 या a_21=0। - यदि a_11=0, a_22=0: a_12, a_21 के लिए 4 विकल्प (00, 01, 10, 11)। आव्यूह: 0 & 0 0 & 0, 0 & 0 1 & 0, 0 & 1 0 & 0, 0 & 1 1 & 0 - यदि a_11=1, a_22=0: a_12a_21=0 के लिए 3 विकल्प (00, 01, 10)। आव्यूह: 1 & 0 0 & 0, 1 & 0 1 & 0, 1 & 1 0 & 0 - यदि a_11=0, a_22=1: a_12a_21=0 के लिए 3 विकल्प (00, 01, 10)। आव्यूह: 0 & 0 0 & 1, 0 & 0 1 & 1, 0 & 1 0 & 1 - यदि a_11=1, a_22=1: a_12a_21=1 के लिए 1 विकल्प (11)। आव्यूह: 1 & 1 1 & 1 गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह वे हैं जिनका सारणिक 0 है। - यदि a_11a_22 = 0 और a_12a_21 = 0: इसमें 7 अद्वितीय आव्यूह हैं। - 0 & 0 0 & 0 (सारणिक 0) - 0 & 0 1 & 0 (सारणिक 0) - 0 & 1 0 & 0 (सारणिक 0) - 1 & 0 0 & 0 (सारणिक 0) - 0 & 0 0 & 1 (सारणिक 0) - 0 & 1 0 & 1 (सारणिक 0) - 1 & 0 1 & 0 (सारणिक 0) - यदि a_11a_22 = 1 और a_12a_21 = 1: इसका मतलब है a_11=1, a_22=1 और a_12=1, a_21=1। - 1 & 1 1 & 1 (सारणिक 0) कुल 8 गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।

Let $A = [a_{ij}]$ be a square matrix of order 2 with entries either 0 or 1. Let $E$ be the event that $A$ is an invertible matrix. Then the probability $\mathbf{P}(\mathbf{E})$ is:

Answer: $\frac{1}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: संभावित आव्यूहों की कुल संख्या ज्ञात करें

एक $2 \times 2$ आव्यूह $A$ में चार प्रविष्टियाँ होती हैं: $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ । प्रत्येक प्रविष्टि या तो 0 या 1 हो सकती है। चूंकि प्रत्येक प्रविष्टि के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल संभावित आव्यूहों की संख्या $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$ होगी।

Step 2: व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की शर्त

एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक (determinant) शून्य के बराबर न हो। $2 \times 2$ आव्यूह के लिए, सारणिक $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ होता है। हमें उन आव्यूहों को खोजना होगा जिनके लिए $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$ है।

Step 3: व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की गणना करें

हम उन आव्यूहों की गणना करेंगे जो व्युत्क्रमणीय नहीं हैं (अर्थात, जिनका सारणिक 0 है) और फिर उन्हें कुल आव्यूहों की संख्या से घटा देंगे। सारणिक $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0$ होने के लिए, $a_{11}a_{22} = a_{12}a_{21}$ होना चाहिए। संभावित मामले: 1. $a_{11}a_{22} = 0$ और $a_{12}a_{21} = 0$ : यह तब होता है जब $a_{11}=0$ या $a_{22}=0$ और $a_{12}=0$ या $a_{21}=0$ । - यदि $a_{11}=0, a_{22}=0$ : $a_{12}, a_{21}$ के लिए 4 विकल्प (00, 01, 10, 11)। आव्यूह: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ - यदि $a_{11}=1, a_{22}=0$ : $a_{12}a_{21}=0$ के लिए 3 विकल्प (00, 01, 10)। आव्यूह: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ - यदि $a_{11}=0, a_{22}=1$ : $a_{12}a_{21}=0$ के लिए 3 विकल्प (00, 01, 10)। आव्यूह: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ - यदि $a_{11}=1, a_{22}=1$ : $a_{12}a_{21}=1$ के लिए 1 विकल्प (11)। आव्यूह: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह वे हैं जिनका सारणिक 0 है। - यदि $a_{11}a_{22} = 0$ और $a_{12}a_{21} = 0$ : इसमें 7 अद्वितीय आव्यूह हैं। - $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) - यदि $a_{11}a_{22} = 1$ और $a_{12}a_{21} = 1$ : इसका मतलब है $a_{11}=1, a_{22}=1$ और $a_{12}=1, a_{21}=1$ । - $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ (सारणिक 0) कुल 8 गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।

Step 4: व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या ज्ञात करें

कुल 16 संभावित आव्यूह हैं। इनमें से 8 आव्यूह गैर-व्युत्क्रमणीय हैं। इसलिए, व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या $16 - 8 = 8$ है।

Step 5: प्रायिकता की गणना करें

घटना $E$ की प्रायिकता व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या को कुल संभावित आव्यूहों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। $P(E) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

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Let A=[aij]A = [a_{ij}]A=[aij​] be a square matrix of order 2 with entries either 0 or 1. Let EEE be the event that AAA is an invertible matrix. Then the probability P(E)\mathbf{P}(\mathbf{E})P(E) is: