समुच्चय A उन सभी बिंदुओं (α, β) को परिभाषित करता है जहाँ α और β कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। हम निरपेक्ष मान असमानताओं को खोलकर α और β के लिए सीमाओं का निर्धारण करते हैं। पहली असमानता |α - 1| ≤ 4 का अर्थ है कि α - 1 -4 और 4 के बीच है, जिससे α के लिए -3 ≤ α ≤ 5 प्राप्त होता है। दूसरी असमानता |β - 5| ≤ 6 का अर्थ है कि β - 5 -6 और 6 के बीच है, जिससे β के लिए -1 ≤ β ≤ 11 प्राप्त होता है। यह एक आयताकार क्षेत्र को परिभाषित करता है।

समुच्चय A उन सभी बिंदुओं (α, β) को परिभाषित करता है जहाँ α और β कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। हम निरपेक्ष मान असमानताओं को खोलकर α और β के लिए सीमाओं का निर्धारण करते हैं। पहली असमानता |α - 1| ≤ 4 का अर्थ है कि α - 1 -4 और 4 के बीच है, जिससे α के लिए -3 ≤ α ≤ 5 प्राप्त होता है। दूसरी असमानता |β - 5| ≤ 6 का अर्थ है कि β - 5 -6 और 6 के बीच है, जिससे β के लिए -1 ≤ β ≤ 11 प्राप्त होता है। यह एक आयताकार क्षेत्र को परिभाषित करता है।

दीर्घवृत्त के मानक समीकरण ((α - h)²)/(a²) + ((β - k)²)/(b²) ≤ 1 से, हम केंद्र (h, k) को (2, 6) के रूप में पहचानते हैं। चूंकि b² = 16 और a² = 9, अर्ध-दीर्घ अक्ष b = 4 और अर्ध-लघु अक्ष a = 3 है। दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष y -अक्ष के समानांतर है क्योंकि b² β पद के नीचे है और a² α पद के नीचे है।

दीर्घवृत्त के मानक समीकरण ((α - h)²)/(a²) + ((β - k)²)/(b²) ≤ 1 से, हम केंद्र (h, k) को (2, 6) के रूप में पहचानते हैं। चूंकि b² = 16 और a² = 9, अर्ध-दीर्घ अक्ष b = 4 और अर्ध-लघु अक्ष a = 3 है। दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष y -अक्ष के समानांतर है क्योंकि b² β पद के नीचे है और a² α पद के नीचे है।

दीर्घवृत्त के केंद्र और अर्ध-अक्षों का उपयोग करके, हम दीर्घवृत्त द्वारा कवर किए गए α और β के मानों की सीमा निर्धारित कर सकते हैं। α के लिए, सीमा केंद्र से अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई घटाकर और जोड़कर प्राप्त की जाती है। β के लिए, सीमा केंद्र से अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई घटाकर और जोड़कर प्राप्त की जाती है।

दीर्घवृत्त के केंद्र और अर्ध-अक्षों का उपयोग करके, हम दीर्घवृत्त द्वारा कवर किए गए α और β के मानों की सीमा निर्धारित कर सकते हैं। α के लिए, सीमा केंद्र से अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई घटाकर और जोड़कर प्राप्त की जाती है। β के लिए, सीमा केंद्र से अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई घटाकर और जोड़कर प्राप्त की जाती है।

अब हम समुच्चय A और B के लिए α और β की सीमाओं की तुलना करते हैं। हम देखते हैं कि दीर्घवृत्त B के लिए α की सीमा [-1, 5] है, जो आयत A के लिए α की सीमा [-3, 5] के भीतर है। इसी तरह, दीर्घवृत्त B के लिए β की सीमा [2, 10] है, जो आयत A के लिए β की सीमा [-1, 11] के भीतर है। चूंकि दीर्घवृत्त B के सभी बिंदु आयत A की सीमाओं के भीतर हैं, इसलिए B A है।

अब हम समुच्चय A और B के लिए α और β की सीमाओं की तुलना करते हैं। हम देखते हैं कि दीर्घवृत्त B के लिए α की सीमा [-1, 5] है, जो आयत A के लिए α की सीमा [-3, 5] के भीतर है। इसी तरह, दीर्घवृत्त B के लिए β की सीमा [2, 10] है, जो आयत A के लिए β की सीमा [-1, 11] के भीतर है। चूंकि दीर्घवृत्त B के सभी बिंदु आयत A की सीमाओं के भीतर हैं, इसलिए B A है।

Let $A = \{(\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |\alpha - 1| \le 4 \text{ and } |\beta - 5| \le 6\}$ and $B = \{(\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : 16(\alpha - 2)^2 + 9(\beta - 6)^2 \le 144\}$ . Then:

Answer: $B \subset A$

Step-by-step solution

Step 1: समुच्चय A को समझना

समुच्चय $A$ उन सभी बिंदुओं $(\alpha, \beta)$ को परिभाषित करता है जहाँ $\alpha$ और $\beta$ कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। हम निरपेक्ष मान असमानताओं को खोलकर $\alpha$ और $\beta$ के लिए सीमाओं का निर्धारण करते हैं। पहली असमानता $|\alpha - 1| \le 4$ का अर्थ है कि $\alpha - 1$ $-4$ और $4$ के बीच है, जिससे $\alpha$ के लिए $-3 \le \alpha \le 5$ प्राप्त होता है। दूसरी असमानता $|\beta - 5| \le 6$ का अर्थ है कि $\beta - 5$ $-6$ और $6$ के बीच है, जिससे $\beta$ के लिए $-1 \le \beta \le 11$ प्राप्त होता है। यह एक आयताकार क्षेत्र को परिभाषित करता है।

Step 2: समुच्चय B को समझना

समुच्चय $B$ उन सभी बिंदुओं $(\alpha, \beta)$ को परिभाषित करता है जो एक दीर्घवृत्त के अंदर या उसकी सीमा पर स्थित हैं। दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के रूप में असमानता को फिर से लिखने के लिए, हम पूरी असमानता को $144$ से विभाजित करते हैं। यह दीर्घवृत्त के केंद्र, अर्ध-अक्षों की लंबाई और अभिविन्यास को प्रकट करता है।

Step 3: दीर्घवृत्त के गुणधर्म

दीर्घवृत्त के मानक समीकरण $\frac{(\alpha - h)^2}{a^2} + \frac{(\beta - k)^2}{b^2} \le 1$ से, हम केंद्र $(h, k)$ को $(2, 6)$ के रूप में पहचानते हैं। चूंकि $b^2 = 16$ और $a^2 = 9$ , अर्ध-दीर्घ अक्ष $b = 4$ और अर्ध-लघु अक्ष $a = 3$ है। दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष $y$ -अक्ष के समानांतर है क्योंकि $b^2$ $\beta$ पद के नीचे है और $a^2$ $\alpha$ पद के नीचे है।

Step 4: दीर्घवृत्त B के लिए $\alpha$ और $\beta$ की सीमाएँ

दीर्घवृत्त के केंद्र और अर्ध-अक्षों का उपयोग करके, हम दीर्घवृत्त द्वारा कवर किए गए $\alpha$ और $\beta$ के मानों की सीमा निर्धारित कर सकते हैं। $\alpha$ के लिए, सीमा केंद्र से अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई घटाकर और जोड़कर प्राप्त की जाती है। $\beta$ के लिए, सीमा केंद्र से अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई घटाकर और जोड़कर प्राप्त की जाती है।

Step 5: समुच्चय A और B की तुलना

अब हम समुच्चय $A$ और $B$ के लिए $\alpha$ और $\beta$ की सीमाओं की तुलना करते हैं। हम देखते हैं कि दीर्घवृत्त $B$ के लिए $\alpha$ की सीमा $[-1, 5]$ है, जो आयत $A$ के लिए $\alpha$ की सीमा $[-3, 5]$ के भीतर है। इसी तरह, दीर्घवृत्त $B$ के लिए $\beta$ की सीमा $[2, 10]$ है, जो आयत $A$ के लिए $\beta$ की सीमा $[-1, 11]$ के भीतर है। चूंकि दीर्घवृत्त $B$ के सभी बिंदु आयत $A$ की सीमाओं के भीतर हैं, इसलिए $B \subset A$ है।

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