अंत में, हम α² + β² + ² का मान ज्ञात करते हैं।

Let $A$ be a $3 \times 3$ matrix such that $X^T A X = 0$ for all nonzero $3 \times 1$ matrices $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ . If $A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}$ , $A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix}$ , and $\det(\text{adj}(2(A + I))) = 2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$ , $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$ , then $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ is

Answer: 40

Step-by-step solution

Step 1: आव्यूह A की प्रकृति ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि किसी भी शून्येतर सदिश $X$ के लिए $X^T A X = 0$ है। यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो दर्शाता है कि आव्यूह $A$ एक विषम सममित आव्यूह है। एक आव्यूह $A$ विषम सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो।

Step 2: आव्यूह A के अवयवों का निर्धारण

चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ विषम सममित आव्यूह है, इसके विकर्ण के अवयव शून्य होते हैं और $A_{ij} = -A_{ji}$ होता है। हम $A$ को इस रूप में लिख सकते हैं। दिए गए समीकरणों का उपयोग करके, हम $a, b, c$ के मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: समीकरणों को हल करना

दिए गए आव्यूह गुणन का उपयोग करके, हम $a, b, c$ के लिए समीकरणों का एक निकाय प्राप्त करते हैं। इन समीकरणों को हल करने पर हमें $a= -1, b=2, c=5$ प्राप्त होता है।

Step 4: आव्यूह A का निर्धारण और सारणिक की गणना

अब जब हमने $a, b, c$ के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम आव्यूह $A$ को लिख सकते हैं। फिर हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं। एक $3 \times 3$ विषम सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा शून्य होता है।

Step 5: आव्यूह $A+I$ का सारणिक ज्ञात करना

हम आव्यूह $A+I$ की गणना करते हैं, जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। फिर हम $A+I$ का सारणिक ज्ञात करते हैं।

Step 6: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन

हम जानते हैं कि $\det(\text{adj}(B)) = (\det(B))^{n-1}$ होता है, जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है। यहाँ $n=3$ है। साथ ही, $\det(kB) = k^n \det(B)$ होता है। इन गुणों का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं। तुलना करने पर, हमें $\alpha=6, \beta=0, \gamma=2$ प्राप्त होता है।

Step 7: अंतिम मान की गणना

अंत में, हम $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात करते हैं।

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