Let A be a 3×3 matrix such that XTAX=0 for all nonzero 3×1 matrices X=xyz. If A111=14−5, A121=04−8, and det(adj(2(A+I)))=2α3β5γ, α,β,γ∈N, then α2+β2+γ2 is
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Step-by-Step Solution
Step 1: आव्यूह A की प्रकृति ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि किसी भी शून्येतर सदिश X के लिए XTAX=0 है। यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो दर्शाता है कि आव्यूह A एक विषम सममित आव्यूह है। एक आव्यूह A विषम सममित होता है यदि AT=−A हो।
Step 2: आव्यूह A के अवयवों का निर्धारण
चूंकि A एक 3×3 विषम सममित आव्यूह है, इसके विकर्ण के अवयव शून्य होते हैं और Aij=−Aji होता है। हम A को इस रूप में लिख सकते हैं। दिए गए समीकरणों का उपयोग करके, हम a, b, c के मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: समीकरणों को हल करना
दिए गए आव्यूह गुणन का उपयोग करके, हम a, b, c के लिए समीकरणों का एक निकाय प्राप्त करते हैं। इन समीकरणों को हल करने पर हमें a=−1,b=2,c=5 प्राप्त होता है।
Step 4: आव्यूह A का निर्धारण और सारणिक की गणना
अब जब हमने a, b, c के मान ज्ञात कर लिए हैं, तो हम आव्यूह A को लिख सकते हैं। फिर हम A का सारणिक ज्ञात करते हैं। एक 3×3 विषम सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा शून्य होता है।
Step 5: आव्यूह A+I का सारणिक ज्ञात करना
हम आव्यूह A+I की गणना करते हैं, जहाँ I तत्समक आव्यूह है। फिर हम A+I का सारणिक ज्ञात करते हैं।
Step 6: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन
हम जानते हैं कि det(adj(B))=(det(B))n−1 होता है, जहाँ n आव्यूह का क्रम है। यहाँ n=3 है। साथ ही, det(kB)=kndet(B) होता है। इन गुणों का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं। तुलना करने पर, हमें α=6,β=0,γ=2 प्राप्त होता है।
Step 7: अंतिम मान की गणना
अंत में, हम α2+β2+γ2 का मान ज्ञात करते हैं।