Let aa be the length of a side of a square OABC with O being the origin. Its side OA makes an acute angle α\alpha with the positive x-axis and the equations of its diagonals are (3+1)x+(3−1)y=0(\sqrt{3} + 1)x + (\sqrt{3} - 1)y = 0 and (3−1)x−(3+1)y+83=0(\sqrt{3} - 1)x - (\sqrt{3} + 1)y + 8\sqrt{3} = 0. Then a2a^2 is equal to:

Answer: 48

Step-by-step solution

Step 1: विकर्णों के समीकरणों का विश्लेषण करें

हमें वर्ग के विकर्णों के दो समीकरण दिए गए हैं। पहला विकर्ण मूल बिंदु से होकर गुजरता है क्योंकि इसमें कोई स्थिर पद नहीं है। दूसरा विकर्ण मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरता है।

Step 2: विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात करें

एक वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं। हम प्रत्येक विकर्ण की ढलान ज्ञात करके और फिर उनके बीच का कोण ज्ञात करके इसकी पुष्टि कर सकते हैं। ढलानों की गणना करने पर, हम पाते हैं कि m1m2=−(2+3)(2−3)=−(4−3)=−1m_1 m_2 = -(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = -(4-3) = -1 । इसका मतलब है कि विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं, जो एक वर्ग के लिए अपेक्षित है।

Step 3: विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएँ

विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु वर्ग का केंद्र होता है। हम दो समीकरणों को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कर सकते हैं। समीकरणों को हल करने पर, हमें प्रतिच्छेदन बिंदु P(3−3,3+3)P(\sqrt{3} - 3, \sqrt{3} + 3) मिलता है।

Step 4: विकर्ण की लंबाई ज्ञात करें

चूंकि मूल बिंदु O(0,0)O(0{,}0) एक शीर्ष है और P(3−3,3+3)P(\sqrt{3} - 3, \sqrt{3} + 3) वर्ग का केंद्र है, तो OPOP विकर्ण की आधी लंबाई है। हम दूरी सूत्र का उपयोग करके OPOP की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। फिर, विकर्ण की कुल लंबाई 2×OP2 \times OP होगी।

Step 5: भुजा की लंबाई और a2a^2 ज्ञात करें

एक वर्ग में, विकर्ण की लंबाई d=a2d = a\sqrt{2} होती है, जहाँ aa भुजा की लंबाई है। हमने विकर्ण की लंबाई d=46d = 4\sqrt{6} ज्ञात की है। इस संबंध का उपयोग करके, हम भुजा की लंबाई aa और फिर a2a^2 ज्ञात कर सकते हैं।

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