Let A=[22+p2+p+q46+2p8+3p+2q612+3p20+6p+3q]A = \begin{bmatrix} 2 & 2 + p & 2 + p + q \\ 4 & 6 + 2p & 8 + 3p + 2q \\ 6 & 12 + 3p & 20 + 6p + 3q \end{bmatrix}. If det⁡(adj(adj(3A)))=2m⋅3n\det(\text{adj}(\text{adj}(3A))) = 2^m \cdot 3^n, m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, then m+nm + n is equal to:

Answer: 24

Step-by-step solution

Step 1: सारणिक का मान ज्ञात करना

सबसे पहले, हम दिए गए आव्यूह AA के सारणिक (determinant) का मान ज्ञात करेंगे। हम पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके इसे सरल बना सकते हैं।

Step 2: पंक्ति संक्रियाएँ लागू करना

हम पंक्ति संक्रियाएँ R2→R2−2R1R_2 \to R_2 - 2R_1 और R3→R3−3R1R_3 \to R_3 - 3R_1 लागू करते हैं ताकि आव्यूह को सरल बनाया जा सके।

Step 3: सरलीकृत आव्यूह

पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने के बाद, आव्यूह AA इस प्रकार हो जाता है।

Step 4: आगे पंक्ति संक्रियाएँ लागू करना

हम एक और पंक्ति संक्रिया R3→R3−3R2R_3 \to R_3 - 3R_2 लागू करते हैं ताकि आव्यूह को और सरल बनाया जा सके।

Step 5: अंतिम सरलीकृत आव्यूह और सारणिक

इस संक्रिया के बाद, आव्यूह एक ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह बन जाता है। एक ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह का सारणिक उसके विकर्ण के तत्वों का गुणनफल होता है। इस प्रकार, det⁡(A)=2⋅2⋅2=8\det(A) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 ।

Step 6: दिए गए व्यंजक का मूल्यांकन

हम जानते हैं कि det⁡(adj(B))=∣B∣n−1\det(\text{adj}(B)) = |B|^{n-1} और det⁡(kB)=kndet⁡(B)\det(kB) = k^n \det(B) । यहाँ n=3n=3 है। इसलिए, det⁡(adj(adj(3A)))=det⁡(adj(3A))3−1=(det⁡(3A)3−1)3−1=det⁡(3A)(3−1)2=det⁡(3A)4\det(\text{adj}(\text{adj}(3A))) = \det(\text{adj}(3A))^{3-1} = (\det(3A)^{3-1})^{3-1} = \det(3A)^{(3-1)^2} = \det(3A)^4 । चूंकि det⁡(3A)=33det⁡(A)=27⋅8=216\det(3A) = 3^3 \det(A) = 27 \cdot 8 = 216 । अतः, det⁡(adj(adj(3A)))=(216)4=(23⋅33)4=212⋅312\det(\text{adj}(\text{adj}(3A))) = (216)^4 = (2^3 \cdot 3^3)^4 = 2^{12} \cdot 3^{12} ।

Step 7: m+nm+n का मान ज्ञात करना

दिए गए det⁡(adj(adj(3A)))=2m⋅3n\det(\text{adj}(\text{adj}(3A))) = 2^m \cdot 3^n से तुलना करने पर, हमें m=12m=12 और n=12n=12 प्राप्त होता है। इसलिए, m+n=12+12=24m+n = 12+12 = 24 ।

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