प्रत्येक आव्यूह के सारणिक की गणना करने पर, हम पाते हैं कि सारणिक के संभावित मान -1, 0, और 1 हैं। उदाहरण के लिए, यदि a_11=1, a_22=1, a_12=0, a_21=0, तो सारणिक 1 × 1 - 0 × 0 = 1 होगा। यदि a_11=0, a_22=0, a_12=0, a_21=0, तो सारणिक 0 होगा। यदि a_11=0, a_22=1, a_12=1, a_21=1, तो सारणिक 0 × 1 - 1 × 1 = -1 होगा।

प्रत्येक आव्यूह के सारणिक की गणना करने पर, हम पाते हैं कि सारणिक के संभावित मान -1, 0, और 1 हैं। उदाहरण के लिए, यदि a_11=1, a_22=1, a_12=0, a_21=0, तो सारणिक 1 × 1 - 0 × 0 = 1 होगा। यदि a_11=0, a_22=0, a_12=0, a_21=0, तो सारणिक 0 होगा। यदि a_11=0, a_22=1, a_12=1, a_21=1, तो सारणिक 0 × 1 - 1 × 1 = -1 होगा।

प्रसरण की गणना सूत्र Var(X) = E(X²) - [E(X)]² का उपयोग करके की जाती है।

Let $A=\left[a_{ij}\right]$ be a $2 \times 2$ matrix such that $a_{ij} \in \{0{,}1\}$ for all $i$ and $j$ . Let the random variable $X$ denote the possible values of the determinant of the matrix $A$ . Then, the variance of $X$ is:

Answer: $\frac{3}{8}$

Step-by-step solution

Step 1: संभावित आव्यूह और उनके सारणिक ज्ञात करना

सबसे पहले, हम $2 \times 2$ आव्यूह $A$ के सभी संभावित संयोजनों को निर्धारित करते हैं, जहाँ प्रत्येक तत्व $a_{ij}$ या तो 0 या 1 हो सकता है। चूंकि चार तत्व हैं और प्रत्येक के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल $2^4 = 16$ संभावित आव्यूह होंगे। फिर, हम प्रत्येक आव्यूह के सारणिक की गणना करते हैं। एक $2 \times 2$ आव्यूह का सारणिक $ad-bc$ होता है।

Step 2: सारणिक के संभावित मानों की पहचान करना

प्रत्येक आव्यूह के सारणिक की गणना करने पर, हम पाते हैं कि सारणिक के संभावित मान -1, 0, और 1 हैं। उदाहरण के लिए, यदि $a_{11}=1, a_{22}=1, a_{12}=0, a_{21}=0$ , तो सारणिक $1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$ होगा। यदि $a_{11}=0, a_{22}=0, a_{12}=0, a_{21}=0$ , तो सारणिक $0$ होगा। यदि $a_{11}=0, a_{22}=1, a_{12}=1, a_{21}=1$ , तो सारणिक $0 \times 1 - 1 \times 1 = -1$ होगा।

Step 3: प्रत्येक सारणिक मान की आवृत्ति ज्ञात करना

हम प्रत्येक संभावित सारणिक मान की आवृत्ति की गणना करते हैं। - सारणिक मान -1 के लिए: $a_{11}a_{22}=0$ और $a_{12}a_{21}=1$ । इसका मतलब है कि $a_{12}=1$ और $a_{21}=1$ , और $a_{11}$ या $a_{22}$ में से कम से कम एक 0 होना चाहिए। यह दो मामलों में होता है: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ । (वास्तव में, $a_{11}a_{22}=0$ के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0), (0,1), (1,0)। तो $3 \times 1 = 3$ आव्यूह। लेकिन $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0 - 1 = -1$ के लिए, $a_{11}a_{22}$ को 0 होना चाहिए और $a_{12}a_{21}$ को 1 होना चाहिए। $a_{12}a_{21}=1$ का अर्थ है $a_{12}=1$ और $a_{21}=1$ । $a_{11}a_{22}=0$ का अर्थ है कि $a_{11}$ और $a_{22}$ में से कम से कम एक 0 है। तो, आव्यूह $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ । इनमें से, $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ का सारणिक $0-1=-1$ है। $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ का सारणिक $0-1=-1$ है। $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ का सारणिक $0-1=-1$ है। तो 3 आव्यूह हैं।) - सारणिक मान 1 के लिए: $a_{11}a_{22}=1$ और $a_{12}a_{21}=0$ । इसका मतलब है कि $a_{11}=1$ और $a_{22}=1$ , और $a_{12}$ या $a_{21}$ में से कम से कम एक 0 होना चाहिए। यह 3 मामलों में होता है: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ । (वास्तव में, $a_{11}a_{22}=1$ के लिए 1 विकल्प है: (1,1)। $a_{12}a_{21}=0$ के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0), (0,1), (1,0)। तो $1 \times 3 = 3$ आव्यूह।) - सारणिक मान 0 के लिए: शेष $16 - 3 - 3 = 10$ आव्यूह का सारणिक 0 होगा। (पुनर्गणना: सारणिक -1 के लिए: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ । नहीं, यह गलत है। $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = -1$ के लिए, $a_{11}a_{22}$ को 0 होना चाहिए और $a_{12}a_{21}$ को 1 होना चाहिए। $a_{12}=1, a_{21}=1$ । $a_{11}a_{22}=0$ के लिए 3 विकल्प हैं: $(0{,}0), (0{,}1), (1{,}0)$ । तो 3 आव्यूह हैं: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ । इन सभी का सारणिक $0-1=-1$ है। तो आवृत्ति 3 है।) (सारणिक 1 के लिए: $a_{11}a_{22}=1$ और $a_{12}a_{21}=0$ । $a_{11}=1, a_{22}=1$ । $a_{12}a_{21}=0$ के लिए 3 विकल्प हैं: $(0{,}0), (0{,}1), (1{,}0)$ । तो 3 आव्यूह हैं: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ । इन सभी का सारणिक $1-0=1$ है। तो आवृत्ति 3 है।) (सारणिक 0 के लिए: $16 - 3 - 3 = 10$ आव्यूह।) सही आवृत्तियाँ हैं: - सारणिक -1: 2 आव्यूह ( $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ नहीं, $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ नहीं। केवल $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ नहीं। सारणिक -1 के लिए: $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = -1$ . इसका मतलब है $a_{11}a_{22} = 0$ और $a_{12}a_{21} = 1$ . $a_{12}=1, a_{21}=1$ . $a_{11}a_{22}=0$ के लिए 3 विकल्प हैं: $(0{,}0), (0{,}1), (1{,}0)$ . तो 3 आव्यूह हैं: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ . इन सभी का सारणिक $0-1=-1$ है। तो आवृत्ति 3 है।) (पुनर्गणना: सारणिक -1 के लिए: $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = -1$ . यह तभी संभव है जब $a_{11}a_{22} = 0$ और $a_{12}a_{21} = 1$ . $a_{12}=1$ और $a_{21}=1$ . $a_{11}a_{22}=0$ के लिए, $a_{11}$ और $a_{22}$ में से कम से कम एक 0 होना चाहिए। केस 1: $a_{11}=0, a_{22}=0$ . आव्यूह: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ . सारणिक: $0-1=-1$ . केस 2: $a_{11}=0, a_{22}=1$ . आव्यूह: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ . सारणिक: $0-1=-1$ . केस 3: $a_{11}=1, a_{22}=0$ . आव्यूह: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ . सारणिक: $0-1=-1$ . तो, सारणिक -1 की आवृत्ति 3 है।) (सारणिक 1 के लिए: $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 1$ . यह तभी संभव है जब $a_{11}a_{22} = 1$ और $a_{12}a_{21} = 0$ . $a_{11}=1$ और $a_{22}=1$ . $a_{12}a_{21}=0$ के लिए, $a_{12}$ और $a_{21}$ में से कम से कम एक 0 होना चाहिए। केस 1: $a_{12}=0, a_{21}=0$ . आव्यूह: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . सारणिक: $1-0=1$ . केस 2: $a_{12}=0, a_{21}=1$ . आव्यूह: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ . सारणिक: $1-0=1$ . केस 3: $a_{12}=1, a_{21}=0$ . आव्यूह: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . सारणिक: $1-0=1$ . तो, सारणिक 1 की आवृत्ति 3 है।) (सारणिक 0 के लिए: $16 - 3 - 3 = 10$ आव्यूह।) यह आवृत्तियाँ सही हैं।

Step 4: प्रायिकता वितरण ज्ञात करना

प्रत्येक सारणिक मान की प्रायिकता उसकी आवृत्ति को कुल आव्यूहों की संख्या (16) से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। $P(X=-1) = 3/16$ $P(X=0) = 10/16$ $P(X=1) = 3/16$

Step 5: माध्य (अपेक्षित मान) की गणना करना

माध्य $E(X)$ की गणना प्रत्येक मान $X$ को उसकी प्रायिकता $P(X)$ से गुणा करके और फिर सभी उत्पादों को जोड़कर की जाती है।

Step 6: माध्य के वर्ग की गणना करना

माध्य के वर्ग $E(X^2)$ की गणना प्रत्येक मान $X$ के वर्ग को उसकी प्रायिकता $P(X)$ से गुणा करके और फिर सभी उत्पादों को जोड़कर की जाती है।

Step 7: प्रसरण की गणना करना

प्रसरण की गणना सूत्र $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ का उपयोग करके की जाती है।

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Let A=[aij]A=\left[a_{ij}\right]A=[aij​] be a 2×22 \times 22×2 matrix such that aij∈{0,1}a_{ij} \in \{0{,}1\}aij​∈{0,1} for all iii and jjj. Let the random variable XXX denote the possible values of the determinant of the matrix AAA. Then, the variance of XXX is: