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Step 2: सारणिक के संभावित मानों की पहचान करना
प्रत्येक आव्यूह के सारणिक की गणना करने पर, हम पाते हैं कि सारणिक के संभावित मान -1, 0, और 1 हैं। उदाहरण के लिए, यदि a11=1,a22=1,a12=0,a21=0, तो सारणिक 1×1−0×0=1 होगा। यदि a11=0,a22=0,a12=0,a21=0, तो सारणिक 0 होगा। यदि a11=0,a22=1,a12=1,a21=1, तो सारणिक 0×1−1×1=−1 होगा।
Step 3: प्रत्येक सारणिक मान की आवृत्ति ज्ञात करना
हम प्रत्येक संभावित सारणिक मान की आवृत्ति की गणना करते हैं।
- सारणिक मान -1 के लिए: a11a22=0 और a12a21=1 । इसका मतलब है कि a12=1 और a21=1, और a11 या a22 में से कम से कम एक 0 होना चाहिए। यह दो मामलों में होता है: [0111] और [1110] । (वास्तव में, a11a22=0 के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0), (0,1), (1,0)। तो 3×1=3 आव्यूह। लेकिन a11a22−a12a21=0−1=−1 के लिए, a11a22 को 0 होना चाहिए और a12a21 को 1 होना चाहिए। a12a21=1 का अर्थ है a12=1 और a21=1 । a11a22=0 का अर्थ है कि a11 और a22 में से कम से कम एक 0 है। तो, आव्यूह [0110] और [0111] और [1110] । इनमें से, [0110] का सारणिक 0−1=−1 है। [0111] का सारणिक 0−1=−1 है। [1110] का सारणिक 0−1=−1 है। तो 3 आव्यूह हैं।)
- सारणिक मान 1 के लिए: a11a22=1 और a12a21=0 । इसका मतलब है कि a11=1 और a22=1, और a12 या a21 में से कम से कम एक 0 होना चाहिए। यह 3 मामलों में होता है: [1001], [1101], [1011] । (वास्तव में, a11a22=1 के लिए 1 विकल्प है: (1,1)। a12a21=0 के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0), (0,1), (1,0)। तो 1×3=3 आव्यूह।)
- सारणिक मान 0 के लिए: शेष 16−3−3=10 आव्यूह का सारणिक 0 होगा।
(पुनर्गणना: सारणिक -1 के लिए: [0110] और [1110] और [0111] । नहीं, यह गलत है। a11a22−a12a21=−1 के लिए, a11a22 को 0 होना चाहिए और a12a21 को 1 होना चाहिए। a12=1,a21=1 । a11a22=0 के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0),(0,1),(1,0) । तो 3 आव्यूह हैं: [0110], [0111], [1110] । इन सभी का सारणिक 0−1=−1 है। तो आवृत्ति 3 है।)
(सारणिक 1 के लिए: a11a22=1 और a12a21=0 । a11=1,a22=1 । a12a21=0 के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0),(0,1),(1,0) । तो 3 आव्यूह हैं: [1001], [1101], [1011] । इन सभी का सारणिक 1−0=1 है। तो आवृत्ति 3 है।)
(सारणिक 0 के लिए: 16−3−3=10 आव्यूह।)
सही आवृत्तियाँ हैं:
- सारणिक -1: 2 आव्यूह ([0110], [1110] नहीं, [0111] नहीं। केवल [0110] और [1110] नहीं।
सारणिक -1 के लिए: a11a22−a12a21=−1. इसका मतलब है a11a22=0 और a12a21=1. a12=1,a21=1. a11a22=0 के लिए 3 विकल्प हैं: (0,0),(0,1),(1,0). तो 3 आव्यूह हैं: [0110], [0111], [1110]. इन सभी का सारणिक 0−1=−1 है। तो आवृत्ति 3 है।)
(पुनर्गणना: सारणिक -1 के लिए: a11a22−a12a21=−1. यह तभी संभव है जब a11a22=0 और a12a21=1. a12=1 और a21=1. a11a22=0 के लिए, a11 और a22 में से कम से कम एक 0 होना चाहिए।
केस 1: a11=0,a22=0. आव्यूह: [0110]. सारणिक: 0−1=−1.
केस 2: a11=0,a22=1. आव्यूह: [0111]. सारणिक: 0−1=−1.
केस 3: a11=1,a22=0. आव्यूह: [1110]. सारणिक: 0−1=−1.
तो, सारणिक -1 की आवृत्ति 3 है।)
(सारणिक 1 के लिए: a11a22−a12a21=1. यह तभी संभव है जब a11a22=1 और a12a21=0. a11=1 और a22=1. a12a21=0 के लिए, a12 और a21 में से कम से कम एक 0 होना चाहिए।
केस 1: a12=0,a21=0. आव्यूह: [1001]. सारणिक: 1−0=1.
केस 2: a12=0,a21=1. आव्यूह: [1101]. सारणिक: 1−0=1.
केस 3: a12=1,a21=0. आव्यूह: [1011]. सारणिक: 1−0=1.
तो, सारणिक 1 की आवृत्ति 3 है।)
(सारणिक 0 के लिए: 16−3−3=10 आव्यूह।)
यह आवृत्तियाँ सही हैं।