चूंकि P P^T = I, B^(10) को विस्तारित करने पर बीच के P^T P पद I बन जाते हैं। उदाहरण के लिए, B² = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PAIA P^T = PA² P^T। इसी तरह, B^(10) = PA^(10) P^T। इसे C के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C = P^T (PA^(10) P^T) P मिलता है। फिर से P^T P = I का उपयोग करने पर, हमें C = A^(10) मिलता है।

चूंकि P P^T = I, B^(10) को विस्तारित करने पर बीच के P^T P पद I बन जाते हैं। उदाहरण के लिए, B² = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PAIA P^T = PA² P^T। इसी तरह, B^(10) = PA^(10) P^T। इसे C के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C = P^T (PA^(10) P^T) P मिलता है। फिर से P^T P = I का उपयोग करने पर, हमें C = A^(10) मिलता है।

मैट्रिक्स C के विकर्ण तत्वों का योग A^(10) के विकर्ण तत्वों का योग है। A^(10) के विकर्ण तत्व (1)/(32) और 1 हैं। उनका योग (1)/(32) + 1 = (33)/(32) है।

मैट्रिक्स C के विकर्ण तत्वों का योग A^(10) के विकर्ण तत्वों का योग है। A^(10) के विकर्ण तत्व (1)/(32) और 1 हैं। उनका योग (1)/(32) + 1 = (33)/(32) है।

हमें विकर्ण तत्वों का योग (m)/(n) = (33)/(32) मिला है। यहाँ m=33 और n=32 हैं। चूंकि gcd(33,32)=1, इसलिए m+n = 33+32 = 65।

हमें विकर्ण तत्वों का योग (m)/(n) = (33)/(32) मिला है। यहाँ m=33 और n=32 हैं। चूंकि gcd(33,32)=1, इसलिए m+n = 33+32 = 65।

Let $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ and $P=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right], \theta>0$ . If $B=PAP^{T}$ , $C=P^{T} B^{10} P$ and the sum of the diagonal elements of $C$ is $\frac{m}{n}$ , where $\operatorname{gcd}(m,n)=1$ , then $m+n$ is:

Answer: 65

Step-by-step solution

Step 1: P के गुणधर्मों का उपयोग करें

मैट्रिक्स $P$ एक घूर्णन मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इसका ट्रांसपोज़ (परिवर्त) इसका व्युत्क्रम होता है, यानी $P^T = P^{-1}$ । इसलिए, $P P^T = I$ (पहचान मैट्रिक्स) होता है।

Step 2: C को सरल करें

हमें $C = P^T B^{10} P$ दिया गया है। हम $B$ के मान को $PAP^T$ के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं। अब, हम $B^{10}$ को $(PAP^T)^{10}$ के रूप में लिख सकते हैं।

Step 3: C को आगे सरल करें

चूंकि $P P^T = I$ , $B^{10}$ को विस्तारित करने पर बीच के $P^T P$ पद $I$ बन जाते हैं। उदाहरण के लिए, $B^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PAIA P^T = PA^2 P^T$ । इसी तरह, $B^{10} = PA^{10} P^T$ । इसे $C$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $C = P^T (PA^{10} P^T) P$ मिलता है। फिर से $P^T P = I$ का उपयोग करने पर, हमें $C = A^{10}$ मिलता है।

Step 4: $A^{10}$ की गणना करें

मैट्रिक्स $A$ एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स की घात की गणना करना आसान होता है। विकर्ण तत्व सीधे घात में उठाए जाते हैं। गैर-विकर्ण तत्व के लिए, हम एक पैटर्न देखते हैं। $A^n = \begin{bmatrix} (a_{11})^n & a_{12} \frac{1-(a_{11})^n}{1-a_{11}} \\ 0 & (a_{22})^n \end{bmatrix}$ जहाँ $a_{11} \neq 1$ । यहाँ $a_{11} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$ और $a_{22} = 1$ । $A^{10}$ के लिए, $a_{11}^{10} = (2^{-1/2})^{10} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$ और $a_{22}^{10} = 1^{10} = 1$ ।

Step 5: विकर्ण तत्वों का योग ज्ञात करें

मैट्रिक्स $C$ के विकर्ण तत्वों का योग $A^{10}$ के विकर्ण तत्वों का योग है। $A^{10}$ के विकर्ण तत्व $\frac{1}{32}$ और $1$ हैं। उनका योग $\frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$ है।

Step 6: $m+n$ की गणना करें

हमें विकर्ण तत्वों का योग $\frac{m}{n} = \frac{33}{32}$ मिला है। यहाँ $m=33$ और $n=32$ हैं। चूंकि $\operatorname{gcd}(33{,}32)=1$ , इसलिए $m+n = 33+32 = 65$ ।

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