Let A=[210−21] and P=[cosθsinθ−sinθcosθ],θ>0. If B=PAPT, C=PTB10P and the sum of the diagonal elements of C is nm, where gcd(m,n)=1, then m+n is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: P के गुणधर्मों का उपयोग करें
मैट्रिक्स P एक घूर्णन मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इसका ट्रांसपोज़ (परिवर्त) इसका व्युत्क्रम होता है, यानी PT=P−1 । इसलिए, PPT=I (पहचान मैट्रिक्स) होता है।
Step 2: C को सरल करें
हमें C=PTB10P दिया गया है। हम B के मान को PAPT के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं। अब, हम B10 को (PAPT)10 के रूप में लिख सकते हैं।
Step 3: C को आगे सरल करें
चूंकि PPT=I, B10 को विस्तारित करने पर बीच के PTP पद I बन जाते हैं। उदाहरण के लिए, B2=(PAPT)(PAPT)=PA(PTP)APT=PAIAPT=PA2PT । इसी तरह, B10=PA10PT । इसे C के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C=PT(PA10PT)P मिलता है। फिर से PTP=I का उपयोग करने पर, हमें C=A10 मिलता है।
Step 4: A10 की गणना करें
मैट्रिक्स A एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स की घात की गणना करना आसान होता है। विकर्ण तत्व सीधे घात में उठाए जाते हैं। गैर-विकर्ण तत्व के लिए, हम एक पैटर्न देखते हैं। An=[(a11)n0a121−a111−(a11)n(a22)n] जहाँ a11=1 । यहाँ a11=21=2−1/2 और a22=1 । A10 के लिए, a1110=(2−1/2)10=2−5=321 और a2210=110=1 ।
Step 5: विकर्ण तत्वों का योग ज्ञात करें
मैट्रिक्स C के विकर्ण तत्वों का योग A10 के विकर्ण तत्वों का योग है। A10 के विकर्ण तत्व 321 और 1 हैं। उनका योग 321+1=3233 है।
Step 6: m+n की गणना करें
हमें विकर्ण तत्वों का योग nm=3233 मिला है। यहाँ m=33 और n=32 हैं। चूंकि gcd(33,32)=1, इसलिए m+n=33+32=65 ।