गुणा करने के बाद, हमें अंश में (2cosθ + isinθ)(cosθ + 3isinθ) = 2cos²θ + 6isin θ + isin θ - 3sin²θ = (2cos²θ - 3sin²θ) + 7isin θ मिलता है। हर में (cosθ - 3isinθ)(cosθ + 3isinθ) = cos²θ + 9sin²θ मिलता है। अब हम इस जटिल संख्या का वास्तविक भाग ज्ञात करेंगे।

गुणा करने के बाद, हमें अंश में (2cosθ + isinθ)(cosθ + 3isinθ) = 2cos²θ + 6isin θ + isin θ - 3sin²θ = (2cos²θ - 3sin²θ) + 7isin θ मिलता है। हर में (cosθ - 3isinθ)(cosθ + 3isinθ) = cos²θ + 9sin²θ मिलता है। अब हम इस जटिल संख्या का वास्तविक भाग ज्ञात करेंगे।

समीकरण को सरल करने पर, हम पाते हैं कि 21cos²θ - 21sin²θ = 0, जिसका अर्थ है cos²θ = sin²θ।

चूंकि cos²θ = sin²θ, हम दोनों पक्षों को cos²θ से विभाजित कर सकते हैं (यह मानते हुए कि cosθ ≠ 0, क्योंकि यदि cosθ = 0, तो sin²θ = 0 भी होगा, जो संभव नहीं है)। इससे हमें tan²θ = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है tanθ = 1 या tanθ = -1। अंतराल [0, 2π] में, tanθ = 1 के लिए θ = (π)/(4), (5π)/(4) और tanθ = -1 के लिए θ = (3π)/(4), (7π)/(4)।

चूंकि cos²θ = sin²θ, हम दोनों पक्षों को cos²θ से विभाजित कर सकते हैं (यह मानते हुए कि cosθ ≠ 0, क्योंकि यदि cosθ = 0, तो sin²θ = 0 भी होगा, जो संभव नहीं है)। इससे हमें tan²θ = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है tanθ = 1 या tanθ = -1। अंतराल [0, 2π] में, tanθ = 1 के लिए θ = (π)/(4), (5π)/(4) और tanθ = -1 के लिए θ = (3π)/(4), (7π)/(4)।

अब हम सेट A में सभी θ के मानों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे।

वर्गों का योग करने पर, हमें (π²)/(16) (1 + 9 + 25 + 49) = (π²)/(16) (84) मिलता है। इसे सरल करने पर, हमें (21π²)/(4) प्राप्त होता है।

वर्गों का योग करने पर, हमें (π²)/(16) (1 + 9 + 25 + 49) = (π²)/(16) (84) मिलता है। इसे सरल करने पर, हमें (21π²)/(4) प्राप्त होता है।

Let $A = \left\{ \theta \in [0, 2\pi] : 1 + 10\,\text{Re} \left( \frac{2\cos\theta + i\sin\theta}{\cos\theta - 3i\sin\theta} \right) = 0 \right\}.$ Then $\sum_{\theta \in A} \theta^2$ is equal to:

Answer: $\frac{21\pi^2}{4}$

Step-by-step solution

Step 1: व्यंजक को सरल करें

सबसे पहले, हम दिए गए जटिल व्यंजक को सरल करेंगे। इसके लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करेंगे। हर का संयुग्मी $\cos\theta + 3i\sin\theta$ है।

Step 2: वास्तविक भाग ज्ञात करें

गुणा करने के बाद, हमें अंश में $(2\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta + 3i\sin\theta) = 2\cos^2\theta + 6i\sin\theta\cos\theta + i\sin\theta\cos\theta - 3\sin^2\theta = (2\cos^2\theta - 3\sin^2\theta) + 7i\sin\theta\cos\theta$ मिलता है। हर में $(\cos\theta - 3i\sin\theta)(\cos\theta + 3i\sin\theta) = \cos^2\theta + 9\sin^2\theta$ मिलता है। अब हम इस जटिल संख्या का वास्तविक भाग ज्ञात करेंगे।

Step 3: समीकरण को हल करें

दिए गए समीकरण में वास्तविक भाग को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह समीकरण मिलता है। अब हम इसे $\theta$ के लिए हल करेंगे।

Step 4: समीकरण को सरल करें

समीकरण को सरल करने पर, हम पाते हैं कि $21\cos^2\theta - 21\sin^2\theta = 0$ , जिसका अर्थ है $\cos^2\theta = \sin^2\theta$ ।

Step 5: θ के मान ज्ञात करें

चूंकि $\cos^2\theta = \sin^2\theta$ , हम दोनों पक्षों को $\cos^2\theta$ से विभाजित कर सकते हैं (यह मानते हुए कि $\cos\theta \neq 0$ , क्योंकि यदि $\cos\theta = 0$ , तो $\sin^2\theta = 0$ भी होगा, जो संभव नहीं है)। इससे हमें $\tan^2\theta = 1$ मिलता है, जिसका अर्थ है $\tan\theta = 1$ या $\tan\theta = -1$ । अंतराल $[0, 2\pi]$ में, $\tan\theta = 1$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ और $\tan\theta = -1$ के लिए $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ ।

Step 6: θ² का योग ज्ञात करें

अब हम सेट $A$ में सभी $\theta$ के मानों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे।

Step 7: योग की गणना करें

वर्गों का योग करने पर, हमें $\frac{\pi^2}{16} (1 + 9 + 25 + 49) = \frac{\pi^2}{16} (84)$ मिलता है। इसे सरल करने पर, हमें $\frac{21\pi^2}{4}$ प्राप्त होता है।

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