Let A={θ∈[0,2π]:1+10Re(cosθ−3isinθ2cosθ+isinθ)=0}. Then ∑θ∈Aθ2 is equal to:
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let A = \{ θ [0, 2π] : 1 + 10 (2cosθ + isinθ)/(cosθ - 3isinθ) = 0 \}. Then _{θ A} θ² is equal to:". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: व्यंजक को सरल करें
सबसे पहले, हम दिए गए जटिल व्यंजक को सरल करेंगे। इसके लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करेंगे। हर का संयुग्मी cosθ+3isinθ है।
Step 2: वास्तविक भाग ज्ञात करें
गुणा करने के बाद, हमें अंश में (2cosθ+isinθ)(cosθ+3isinθ)=2cos2θ+6isinθcosθ+isinθcosθ−3sin2θ=(2cos2θ−3sin2θ)+7isinθcosθ मिलता है। हर में (cosθ−3isinθ)(cosθ+3isinθ)=cos2θ+9sin2θ मिलता है। अब हम इस जटिल संख्या का वास्तविक भाग ज्ञात करेंगे।
Step 3: समीकरण को हल करें
दिए गए समीकरण में वास्तविक भाग को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह समीकरण मिलता है। अब हम इसे θ के लिए हल करेंगे।
Step 4: समीकरण को सरल करें
समीकरण को सरल करने पर, हम पाते हैं कि 21cos2θ−21sin2θ=0, जिसका अर्थ है cos2θ=sin2θ ।
Step 5: θ के मान ज्ञात करें
चूंकि cos2θ=sin2θ, हम दोनों पक्षों को cos2θ से विभाजित कर सकते हैं (यह मानते हुए कि cosθ=0, क्योंकि यदि cosθ=0, तो sin2θ=0 भी होगा, जो संभव नहीं है)। इससे हमें tan2θ=1 मिलता है, जिसका अर्थ है tanθ=1 या tanθ=−1 । अंतराल [0,2π] में, tanθ=1 के लिए θ=4π,45π और tanθ=−1 के लिए θ=43π,47π ।
Step 6: θ² का योग ज्ञात करें
अब हम सेट A में सभी θ के मानों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे।
Step 7: योग की गणना करें
वर्गों का योग करने पर, हमें 16π2(1+9+25+49)=16π2(84) मिलता है। इसे सरल करने पर, हमें 421π2 प्राप्त होता है।