Let a line pass through two distinct points P(−2,−1,3) and Q, and be parallel to the vector 3i^+2j^+2k^. If the distance of the point Q from the point R(1,3,3) is 5, then the square of the area of △PQR is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: रेखा का समीकरण ज्ञात करें
चूंकि रेखा बिंदु P(−2,−1,3) से होकर गुजरती है और सदिश b=3i^+2j^+2k^ के समानांतर है, हम रेखा का सदिश समीकरण लिख सकते हैं। यहाँ, p बिंदु P का स्थिति सदिश है और λ एक अदिश है।
Step 2: बिंदु Q के निर्देशांक ज्ञात करें
बिंदु Q रेखा पर स्थित है, इसलिए इसके निर्देशांक (−2+3λ,−1+2λ,3+2λ) के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। हमें दिया गया है कि बिंदु Q से बिंदु R(1,3,3) की दूरी 5 है। हम दूरी सूत्र का उपयोग करके λ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: λ का मान हल करें
दूरी समीकरण को सरल करने पर, हमें λ के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर λ=0 या λ=2 प्राप्त होता है। चूंकि P और Q अलग-अलग बिंदु हैं, λ=0 होना चाहिए, इसलिए हम λ=2 लेते हैं।
Step 4: बिंदु Q के निर्देशांक और सदिश PQ ज्ञात करें
अब जब हमारे पास λ का मान है, तो हम बिंदु Q के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। फिर, हम सदिश PQ की गणना करते हैं, जो त्रिभुज PQR की एक भुजा है।
Step 5: सदिश PR ज्ञात करें
हम बिंदु R(1,3,3) और बिंदु P(−2,−1,3) का उपयोग करके सदिश PR की गणना करते हैं, जो त्रिभुज PQR की दूसरी भुजा है।
Step 6: त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग ज्ञात करें
त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल सदिश PQ और PR के क्रॉस उत्पाद के परिमाण के आधे के बराबर होता है। हम क्रॉस उत्पाद की गणना करते हैं, उसका परिमाण ज्ञात करते हैं, और फिर क्षेत्रफल का वर्ग ज्ञात करते हैं।