चूंकि रेखा बिंदु P(-2,-1,3) से होकर गुजरती है और सदिश b = 3 i+2 j+2 k के समानांतर है, हम रेखा का सदिश समीकरण लिख सकते हैं। यहाँ, p बिंदु P का स्थिति सदिश है और एक अदिश है।

चूंकि रेखा बिंदु P(-2,-1,3) से होकर गुजरती है और सदिश b = 3 i+2 j+2 k के समानांतर है, हम रेखा का सदिश समीकरण लिख सकते हैं। यहाँ, p बिंदु P का स्थिति सदिश है और एक अदिश है।

दूरी समीकरण को सरल करने पर, हमें के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर = 0 या = 2 प्राप्त होता है। चूंकि P और Q अलग-अलग बिंदु हैं, ≠ 0 होना चाहिए, इसलिए हम = 2 लेते हैं।

दूरी समीकरण को सरल करने पर, हमें के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर = 0 या = 2 प्राप्त होता है। चूंकि P और Q अलग-अलग बिंदु हैं, ≠ 0 होना चाहिए, इसलिए हम = 2 लेते हैं।

अब जब हमारे पास का मान है, तो हम बिंदु Q के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। फिर, हम सदिश PQ की गणना करते हैं, जो त्रिभुज PQR की एक भुजा है।

अब जब हमारे पास का मान है, तो हम बिंदु Q के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। फिर, हम सदिश PQ की गणना करते हैं, जो त्रिभुज PQR की एक भुजा है।

हम बिंदु R(1,3,3) और बिंदु P(-2,-1,3) का उपयोग करके सदिश PR की गणना करते हैं, जो त्रिभुज PQR की दूसरी भुजा है।

हम बिंदु R(1,3,3) और बिंदु P(-2,-1,3) का उपयोग करके सदिश PR की गणना करते हैं, जो त्रिभुज PQR की दूसरी भुजा है।

Let a line pass through two distinct points $P(-2,-1{,}3)$ and $Q$ , and be parallel to the vector $3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ . If the distance of the point $Q$ from the point $R(1{,}3{,}3)$ is 5, then the square of the area of $\triangle PQR$ is equal to:

Answer: 136

Step-by-step solution

Step 1: रेखा का समीकरण ज्ञात करें

चूंकि रेखा बिंदु $P(-2,-1{,}3)$ से होकर गुजरती है और सदिश $\vec{b} = 3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ के समानांतर है, हम रेखा का सदिश समीकरण लिख सकते हैं। यहाँ, $\vec{p}$ बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है और $\lambda$ एक अदिश है।

Step 2: बिंदु Q के निर्देशांक ज्ञात करें

बिंदु $Q$ रेखा पर स्थित है, इसलिए इसके निर्देशांक $(-2+3\lambda, -1+2\lambda, 3+2\lambda)$ के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। हमें दिया गया है कि बिंदु $Q$ से बिंदु $R(1{,}3{,}3)$ की दूरी 5 है। हम दूरी सूत्र का उपयोग करके $\lambda$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: λ का मान हल करें

दूरी समीकरण को सरल करने पर, हमें $\lambda$ के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर $\lambda = 0$ या $\lambda = 2$ प्राप्त होता है। चूंकि $P$ और $Q$ अलग-अलग बिंदु हैं, $\lambda \neq 0$ होना चाहिए, इसलिए हम $\lambda = 2$ लेते हैं।

Step 4: बिंदु Q के निर्देशांक और सदिश PQ ज्ञात करें

अब जब हमारे पास $\lambda$ का मान है, तो हम बिंदु $Q$ के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। फिर, हम सदिश $\vec{PQ}$ की गणना करते हैं, जो त्रिभुज $PQR$ की एक भुजा है।

Step 5: सदिश PR ज्ञात करें

हम बिंदु $R(1{,}3{,}3)$ और बिंदु $P(-2,-1{,}3)$ का उपयोग करके सदिश $\vec{PR}$ की गणना करते हैं, जो त्रिभुज $PQR$ की दूसरी भुजा है।

Step 6: त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग ज्ञात करें

त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के क्रॉस उत्पाद के परिमाण के आधे के बराबर होता है। हम क्रॉस उत्पाद की गणना करते हैं, उसका परिमाण ज्ञात करते हैं, और फिर क्षेत्रफल का वर्ग ज्ञात करते हैं।

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