Let a random variable X take values 0, 1, 2 and 3 with P(X=0) = P(X=1) = p and P(X=2) = P(X=3) = 21−2p. If E(X2)=2E(X), then the value of 8p−1 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: प्रायिकता वितरण की शर्तों का उपयोग करें
एक यादृच्छिक चर के लिए, सभी संभावित मानों की प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए। हम दिए गए प्रायिकताओं को जोड़कर p के लिए एक समीकरण बनाएंगे।
Step 2: p का मान ज्ञात करें
दी गई प्रायिकताओं को जोड़ने पर, हमें 2p+2(21−2p)=1 मिलता है। इसे सरल करने पर 2p+1−2p=1 प्राप्त होता है, जो 1=1 है। यह समीकरण p के लिए कोई विशिष्ट मान नहीं देता है, लेकिन यह दर्शाता है कि प्रायिकता वितरण वैध है। हमें p के लिए एक और शर्त की आवश्यकता है।
Step 3: अपेक्षित मान E(X) और E(X²) की गणना करें
हम अपेक्षित मान E(X) और E(X2) की गणना उनके सूत्र का उपयोग करके करते हैं: E(X)=∑xP(X=x) और E(X2)=∑x2P(X=x) ।
Step 4: दी गई शर्त का उपयोग करके p का मान ज्ञात करें
दी गई शर्त E(X2)=2E(X) में E(X) और E(X2) के लिए गणना किए गए मानों को प्रतिस्थापित करें। फिर p के लिए समीकरण को हल करें।
Step 5: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करें
एक बार जब हमें p का मान मिल जाता है, तो हम दिए गए व्यंजक 8p−1 में इसे प्रतिस्थापित करते हैं।