चूंकि समलंब चतुर्भुज ABCD के शीर्ष परवलय y² = 4x पर स्थित हैं और भुजाएँ AD और BC, y -अक्ष के समानांतर हैं, इसका मतलब है कि A और D का x -निर्देशांक समान है, और B और C का x -निर्देशांक समान है। साथ ही, परवलय y² = 4x x -अक्ष के परितः सममित है, इसलिए यदि (x, y) परवलय पर है, तो (x, -y) भी परवलय पर होगा। इस प्रकार, हम शीर्षों को A=(x_1, y_1), D=(x_1, -y_1), B=(x_2, y_2), और C=(x_2, -y_2) के रूप में मान सकते हैं, जहाँ y_1 > 0 और y_2 > 0।

चूंकि समलंब चतुर्भुज ABCD के शीर्ष परवलय y² = 4x पर स्थित हैं और भुजाएँ AD और BC, y -अक्ष के समानांतर हैं, इसका मतलब है कि A और D का x -निर्देशांक समान है, और B और C का x -निर्देशांक समान है। साथ ही, परवलय y² = 4x x -अक्ष के परितः सममित है, इसलिए यदि (x, y) परवलय पर है, तो (x, -y) भी परवलय पर होगा। इस प्रकार, हम शीर्षों को A=(x_1, y_1), D=(x_1, -y_1), B=(x_2, y_2), और C=(x_2, -y_2) के रूप में मान सकते हैं, जहाँ y_1 > 0 और y_2 > 0।

चूंकि विकर्ण AC बिंदु (1,0) से होकर गुजरता है, हम x=1 और y=0 को AC के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। परवलय के समीकरण y² = 4x से, हमारे पास x_1 = y_1²/4 और x_2 = y_2²/4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y_1 y_2 = 4 प्राप्त होता है।

चूंकि विकर्ण AC बिंदु (1,0) से होकर गुजरता है, हम x=1 और y=0 को AC के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। परवलय के समीकरण y² = 4x से, हमारे पास x_1 = y_1²/4 और x_2 = y_2²/4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y_1 y_2 = 4 प्राप्त होता है।

विकर्ण AC की लंबाई (25)/(4) दी गई है। हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं। AC² = (x_1 - x_2)² + (y_1 + y_2)² = ((y_1²)/(4) - (y_2²)/(4))² + (y_1 + y_2)² = ((25)/(4))²। इसे सरल करने पर, हमें y_1 + y_2 = 5 प्राप्त होता है।

विकर्ण AC की लंबाई (25)/(4) दी गई है। हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं। AC² = (x_1 - x_2)² + (y_1 + y_2)² = ((y_1²)/(4) - (y_2²)/(4))² + (y_1 + y_2)² = ((25)/(4))²। इसे सरल करने पर, हमें y_1 + y_2 = 5 प्राप्त होता है।

समलंब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल (1)/(2) (AD + BC) × (x_2 - x_1) है। यहाँ AD = 2y_1 और BC = 2y_2। x_1 = y_1²/4 और x_2 = y_2²/4। y_1=4 और y_2=1 का उपयोग करके, हम x_1=4 और x_2=1/4 प्राप्त करते हैं। क्षेत्रफल = (1)/(2) (2y_1 + 2y_2) (x_2 - x_1) = (y_1 + y_2) (x_2 - x_1) = (4+1)((1)/(4) - 4) = 5(-(15)/(4)) = -(75)/(4)। चूंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, हम निरपेक्ष मान लेते हैं।

समलंब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल (1)/(2) (AD + BC) × (x_2 - x_1) है। यहाँ AD = 2y_1 और BC = 2y_2। x_1 = y_1²/4 और x_2 = y_2²/4। y_1=4 और y_2=1 का उपयोग करके, हम x_1=4 और x_2=1/4 प्राप्त करते हैं। क्षेत्रफल = (1)/(2) (2y_1 + 2y_2) (x_2 - x_1) = (y_1 + y_2) (x_2 - x_1) = (4+1)((1)/(4) - 4) = 5(-(15)/(4)) = -(75)/(4)। चूंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, हम निरपेक्ष मान लेते हैं।

Let $ABCD$ be a trapezium whose vertices lie on the parabola $y^2 = 4x$ . Let the sides $AD$ and $BC$ of the trapezium be parallel to $y$ -axis. If the diagonal $AC$ is of length $\frac{25}{4}$ and it passes through the point $(1{,}0)$ , then the area of $ABCD$ is

Answer: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\frac{75}{4}$ वर्ग इकाई है।

Step-by-step solution

Step 1: समलंब चतुर्भुज के शीर्षों को परिभाषित करना

चूंकि समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित हैं और भुजाएँ $AD$ और $BC$ , $y$ -अक्ष के समानांतर हैं, इसका मतलब है कि $A$ और $D$ का $x$ -निर्देशांक समान है, और $B$ और $C$ का $x$ -निर्देशांक समान है। साथ ही, परवलय $y^2 = 4x$ $x$ -अक्ष के परितः सममित है, इसलिए यदि $(x, y)$ परवलय पर है, तो $(x, -y)$ भी परवलय पर होगा। इस प्रकार, हम शीर्षों को $A=(x_1, y_1)$ , $D=(x_1, -y_1)$ , $B=(x_2, y_2)$ , और $C=(x_2, -y_2)$ के रूप में मान सकते हैं, जहाँ $y_1 > 0$ और $y_2 > 0$ ।

Step 2: विकर्ण AC के समीकरण का उपयोग करना

विकर्ण $AC$ बिंदु $(x_2, -y_2)$ और $(x_1, y_1)$ से होकर गुजरता है। हम दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण का उपयोग करके $AC$ का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं। यह विकर्ण बिंदु $(1{,}0)$ से भी गुजरता है।

Step 3: विकर्ण AC के समीकरण को सरल बनाना और $y_1, y_2$ के बीच संबंध ज्ञात करना

चूंकि विकर्ण $AC$ बिंदु $(1{,}0)$ से होकर गुजरता है, हम $x=1$ और $y=0$ को $AC$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। परवलय के समीकरण $y^2 = 4x$ से, हमारे पास $x_1 = y_1^2/4$ और $x_2 = y_2^2/4$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $y_1 y_2 = 4$ प्राप्त होता है।

Step 4: विकर्ण AC की लंबाई का उपयोग करना

विकर्ण $AC$ की लंबाई $\frac{25}{4}$ दी गई है। हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं। $AC^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 = (\frac{y_1^2}{4} - \frac{y_2^2}{4})^2 + (y_1 + y_2)^2 = (\frac{25}{4})^2$ । इसे सरल करने पर, हमें $y_1 + y_2 = 5$ प्राप्त होता है।

Step 5: $y_1$ और $y_2$ के मान ज्ञात करना

हमारे पास दो समीकरण हैं: $y_1 + y_2 = 5$ और $y_1 y_2 = 4$ । ये $t^2 - 5t + 4 = 0$ द्विघात समीकरण के मूल हैं। इस समीकरण को हल करने पर, हमें $t=1$ या $t=4$ प्राप्त होता है। इसलिए, $y_1=4$ और $y_2=1$ (या इसके विपरीत)।

Step 6: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} (AD + BC) \times (x_2 - x_1)$ है। यहाँ $AD = 2y_1$ और $BC = 2y_2$ । $x_1 = y_1^2/4$ और $x_2 = y_2^2/4$ । $y_1=4$ और $y_2=1$ का उपयोग करके, हम $x_1=4$ और $x_2=1/4$ प्राप्त करते हैं। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (2y_1 + 2y_2) (x_2 - x_1) = (y_1 + y_2) (x_2 - x_1) = (4+1)(\frac{1}{4} - 4) = 5(-\frac{15}{4}) = -\frac{75}{4}$ । चूंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, हम निरपेक्ष मान लेते हैं।

Solve your own maths question free →