Let ABCD be a trapezium whose vertices lie on the parabola y2=4x. Let the sides AD and BC of the trapezium be parallel to y -axis. If the diagonal AC is of length 425 and it passes through the point (1,0), then the area of ABCD is
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Step-by-Step Solution
Step 1: समलंब चतुर्भुज के शीर्षों को परिभाषित करना
चूंकि समलंब चतुर्भुज ABCD के शीर्ष परवलय y2=4x पर स्थित हैं और भुजाएँ AD और BC, y -अक्ष के समानांतर हैं, इसका मतलब है कि A और D का x -निर्देशांक समान है, और B और C का x -निर्देशांक समान है। साथ ही, परवलय y2=4x x -अक्ष के परितः सममित है, इसलिए यदि (x, y) परवलय पर है, तो (x, -y) भी परवलय पर होगा। इस प्रकार, हम शीर्षों को A=(x1,y1), D=(x1,−y1), B=(x2,y2), और C=(x2,−y2) के रूप में मान सकते हैं, जहाँ y1>0 और y2>0 ।
Step 2: विकर्ण AC के समीकरण का उपयोग करना
विकर्ण AC बिंदु (x2,−y2) और (x1,y1) से होकर गुजरता है। हम दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण का उपयोग करके AC का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं। यह विकर्ण बिंदु (1,0) से भी गुजरता है।
Step 3: विकर्ण AC के समीकरण को सरल बनाना और y1,y2 के बीच संबंध ज्ञात करना
चूंकि विकर्ण AC बिंदु (1,0) से होकर गुजरता है, हम x=1 और y=0 को AC के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। परवलय के समीकरण y2=4x से, हमारे पास x1=y12/4 और x2=y22/4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y1y2=4 प्राप्त होता है।
Step 4: विकर्ण AC की लंबाई का उपयोग करना
विकर्ण AC की लंबाई 425 दी गई है। हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं। AC2=(x1−x2)2+(y1+y2)2=(4y12−4y22)2+(y1+y2)2=(425)2 । इसे सरल करने पर, हमें y1+y2=5 प्राप्त होता है।
Step 5: y1 और y2 के मान ज्ञात करना
हमारे पास दो समीकरण हैं: y1+y2=5 और y1y2=4 । ये t2−5t+4=0 द्विघात समीकरण के मूल हैं। इस समीकरण को हल करने पर, हमें t=1 या t=4 प्राप्त होता है। इसलिए, y1=4 और y2=1 (या इसके विपरीत)।
Step 6: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना
समलंब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 21(AD+BC)×(x2−x1) है। यहाँ AD=2y1 और BC=2y2 । x1=y12/4 और x2=y22/4 । y1=4 और y2=1 का उपयोग करके, हम x1=4 और x2=1/4 प्राप्त करते हैं। क्षेत्रफल =21(2y1+2y2)(x2−x1)=(y1+y2)(x2−x1)=(4+1)(41−4)=5(−415)=−475 । चूंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, हम निरपेक्ष मान लेते हैं।